[論文レビュー] Quantum mechanics on a real Hilbert space

Jan Myrheim|ArXiv.org|May 11, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、複素ヒルベルト空間を実ヒルベルト空間として扱うことで、標準的量子力学を再定式化し、純粋状態を混合状態に変換し、より広いクラスの観測可能量を可能にする。主な貢献は、時間反転が標準的な複素形式を超える観測可能量の例としての動機付けとなるように、非標準的量子化（調和振動子の任意の離散的エネルギー準位）を扱える一般化された量子理論を提供することである。

ABSTRACT

The complex Hilbert space of standard quantum mechanics may be treated as a real Hilbert space. The pure states of the complex theory become mixed states in the real formulation. It is then possible to generalize standard quantum mechanics, keeping the same set of physical states, but admitting more general observables. The standard time reversal operator involves complex conjugation, in this sense it goes beyond the complex theory and may serve as an example to motivate the generalization. Another example is unconventional canonical quantization such that the harmonic oscillator of angular frequency $ω$ has any given finite or infinite set of discrete energy eigenvalues, limited below by $\hbarω/2$.

研究の動機と目的

• 複素ヒルベルト空間ではなく実ヒルベルト空間上で量子力学を定式化することの意味を検討すること。
• 標準的な複素量子力学が特定の対称性や観測可能量を記述する上で抱える制限を扱うこと。
• 物理的状態空間を保ちつつ、より一般的な観測可能量を許容することで、量子理論を一般化すること。
• 時間反転や非標準的量子化を一貫して記述できる枠組みを提供すること。
• 標準的な調和振動子スペクトルが形式主義によって一意に要求されるわけではないことを示すこと。

提案手法

• 標準的量子力学の複素ヒルベルト空間を、次元を2倍にした実ヒルベルト空間として表現する。
• 複素理論における純粋状態を、密度行列を介して実形式における混合状態に写像する。
• 実ヒルベルト空間上の対称演算子として観測可能量を定義し、標準的な複素線形演算子を超える。
• 実ヒルベルト空間形式と整合する一般化された測定および状態更新則を導入する。
• 時間反転演算子を、標準的複素形式外の観測可能量を要請する具体的な例として用いる。
• 正準量子化にこの形式を適用し、調和振動子が ℏω/2 で下限をもつ任意の離散的エネルギー準位をとれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的量子力学を、複素ヒルベルト空間ではなく実ヒルベルト空間のみを用いて一貫して再定式化できるか？
• RQ2 実ヒルベルト空間形式では、複素形式と比較してどのクラスの観測可能量が利用可能になるか？
• RQ3 複素理論における純粋状態は、実ヒルベルト空間表現においてどのように変換されるか？
• RQ4 調和振動子ハミルトニアンは、物理的整合性を保ちつつ、任意の離散的エネルギー準位をもたらすように量子化可能か？
• RQ5 時間反転演算子は、標準的複素量子力学を超えた一般化を動機づける役割を果たすか？

主な発見

• 複素量子理論における純粋状態は、実ヒルベルト空間形式において混合状態に対応する。
• 時間反転演算子は、複素共役を含むため、標準的な複素量子力学形式の外にあり、したがって実ヒルベルト空間一般化の動機づけとなる。
• 調和振動子のエネルギー固有値として、有限または無限の離散的集合が許容され、最低準位が ℏω/2 でなければならない。
• 一般化された形式では、複素ヒルベルト空間上では線形演算子として表現できない観測可能量が可能になる。
• 実ヒルベルト空間形式は物理的状態空間を保ちつつ、許可される観測可能量の集合を拡張する。
• 標準的な複素量子力学は、このより広い実ヒルベルト空間フレームワーク内での特別な場合に還元される。