[論文レビュー] Quantum Mechanics on the Circle and W_{1+\INFTY}

Roberto Floreanini, Roberto Percacci+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 1991

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中心指数 c=0 の W_{1+∞}代数と、1次元円（S^1）上を運動する粒子の量子力学の間の直接的な対応関係を確立し、この代数を2次元ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として同定する。さらに、超対称系へ拡張することで、2次元における超ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として超 W_∞ 代数が得られ、コンパクト化された空間次元における量子系を通じて、無限次元対称性代数の物理的実現がなされることを示している。

ABSTRACT

The algebra W_{1+\infty} with central charge c=0 can be identified with the algebra of quantum observables of a particle moving on a circle. Mathematically, it is the universal enveloping algebra of the Euclidean algebra in two dimensions. Similarly, the super W_\infty algebra is found to be the universal enveloping algebra of the super-Euclidean algebra in two dimensions.

研究の動機と目的

• 中心指数 c=0 の W_{1+∞} 代数を、円上を運動する量子系を通じて物理的実現すること。
• 円上を運動する粒子の可観測量の代数が、中心指数 c=0 の W_{1+∞} と同型であることを特定すること。
• この構成を超対称系へ拡張し、2次元における超ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として超 W_∞ 代数が同型であることを特定すること。
• コンパクト多様体上の量子系として、無限次元代数の幾何的・物理的解釈を提供すること。
• 回転対称性を持つ量子力学的モデルを通じて、W_{1+∞} 及びその超拡張の数学的構造を明確にすること。

提案手法

• 1次元の円（S^1）上を運動する粒子の量子力学的系を分析し、その対称性代数に注目する。
• 周期的境界条件の下で位置演算子と運動量演算子が生成する可観測量の代数が、中心指数 c=0 の W_{1+∞} と同型であることを特定する。
• この代数が、2次元ユークリッドリー代数（ISO(2)）の普遍包あらゆる代数に等しいことを示す。
• フェルミオン的自由度を導入することで超対称系への分析を拡張し、超 W_∞ 代数を導出する。
• 超 W_∞ 代数が、2次元における超ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として得られることを示す。
• 表現論および代数的構造解析を用いて、可観測量代数と無限次元対称性代数との同型関係を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心指数 c=0 の W_{1+∞} 代数は、量子系の可観測量代数として物理的に実現可能か？
• RQ2 円上を運動する粒子の可観測量の正確な代数的構造は何か？ そして、既知の無限次元代数とどのように関係するか？
• RQ3 この構成は超対称系へどのように一般化され、どのような代数的構造が出現するか？
• RQ4 2次元ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数と W_{1+∞} 代数との間に直接的な対応関係があるか？
• RQ5 2次元における超ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として超 W_∞ 代数を導出できるか？

主な発見

• 円上を運動する粒子の可観測量代数は、中心指数 c=0 の W_{1+∞} と同型である。
• この W_{1+∞} 代数は、2次元ユークリッドリー代数（ISO(2)）の普遍包あらゆる代数として同定される。
• 超 W_∞ 代数は、2次元における超ユークリッド代数の普遍包あらゆる代数として示される。
• この構成により、単純な量子力学的系を通じて W_{1+∞} 代数の物理的実現がなされる。
• 可観測量代数と W_{1+∞} の同型関係を確立する上で、中心指数 c=0 が不可欠である。
• 結果として、コンパクトな空間幾何（S^1）と量子場理論における無限次元対称性代数との直接的な関連が確立される。