[論文レビュー] Quantum mechanics without spacetime: a case for noncommutative geometry

Tejinder P. Singh|ArXiv.org|Oct 9, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、時空座標が非可換である非可換幾何学を用いて、古典的時空を前提としない量子力学の定式化を提案する。Doebner-Goldin 型の質量依存の非線形シュレーディンガー方程式を導入し、巨視的極限では標準的量子力学に還元され、プランクスケールの質量において検証可能な非線形性を提供する。これは量子重力理論の実験的探査の可能性を秘めている。

ABSTRACT

Quantum mechanics in its presently known formulation requires an external classical time for its description. A classical spacetime manifold and a classical spacetime metric are produced by classical matter fields. In the absence of such classical matter fields, quantum mechanics should be formulated without reference to a classical time. If such a new formulation exists, it follows as a consequence that standard linear quantum mechanics is a limiting case of an underlying non-linear quantum theory. A possible approach to the new formulation is through the use of noncommuting spacetime coordinates in noncommutative differential geometry. Here, the non-linear theory is described by a non-linear Schrodinger equation which belongs to the Doebner-Goldin class of equations, discovered some years ago. This mass-dependent non-linearity is significant when particle masses are comparable to Planck mass, and negligible otherwise. Such a non-linearity is in principle detectable through experimental tests of quantum mechanics for mesoscopic systems, and is a valuable empirical probe of theories of quantum gravity. We also briefly remark on the possible connection our approach could have with loop quantum gravity and string theory.

研究の動機と目的

• 標準的量子力学の基礎的不完全性に取り組むこと。これは古典的時空と外部時間に依存している。
• 初期宇宙の状態や孤立系のような古典的時空多様体が存在しない状況においても有効な量子力学の定式化を開発すること。
• 非可換微分幾何学が、巨視的極限で標準的量子力学に還元される非線形量子理論の幾何的基盤としてどのように機能するかを検討すること。
• Doebner-Goldin 型の非線形シュレーディンガー方程式を、メソスコピック系で観測可能な効果を持つ根本的な非線形量子理論の候補として特定すること。
• D-brane 動力学から生じる非可換幾何学の出現を通じて、ループ量子重力や超弦理論といった広範な量子重力プログラムと接続すること。

提案手法

• 非可換微分幾何学を基礎とする幾何的枠組みとして採用し、古典的時空の代わりに非可換座標を用いる。
• 質量依存の非線形性を組み込んだ Doebner-Goldin 系の非線形シュレーディンガー方程式を用いて量子力学的ダイナミクスを定式化する。
• 量子ゆらぎが無視できる巨視的極限において、理論が標準的線形量子力学に還元されることを保証する。
• 一般相対性理論における計量に類似した、動的な場としての非対称テンソル $ h_{μ u} $ を用いて、量子時空幾何を記述する。
• $ h_{μ u} $ の場の運動方程式を導出し、古典的極限でアインシュタイン方程式に還元されるようにし、非線形量子重力理論の枠組みを構築する。
• このアプローチをループ量子重力（より広い非線形理論のクラスの D=0 限界としての）と超弦理論（D0-ブレーンのダイナミクスから Doebner-Goldin 方程式が出現する）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的時空背景を仮定せずに、量子力学を一貫して定式化できるか？
• RQ2 非可換時空幾何から自然に生じるシュレーディンガー方程式の非線形修正は何か？そしてそれは質量にどのように依存するか？
• RQ3 提案された非線形量子理論は、適切な極限において、標準的量子力学および一般相対性理論にどのように還元されるか？
• RQ4 Doebner-Goldin 方程式と、特に D-ブレーン系における超弦理論的量子重力効果との関係は何か？
• RQ5 非可換幾何学は、線形化重力や LQG のような下からの手法とは対照的に、トップダウン的で根本的な量子重力の枠組みとして機能できるか？

主な発見

• Doebner-Goldin 系の非線形シュレーディンガー方程式が、非摂動的かつ背景独立な量子理論の自然な候補として出現する。
• 非線形性は質量に依存し、粒子の質量がプランク質量に近づくと顕著になるため、メソスコピック系で検出可能である可能性がある。
• 理論は巨視的極限において標準的線形量子力学に還元され、既存の物理学と整合性を保つ。
• 非対称テンソル $ h_{μ u} $（量子時空幾何を表す）は、アインシュタイン方程式に類似した場の運動方程式を満たすと予想され、古典的極限でそれらに還元される。
• Doebner-Goldin 方程式は、超弦理論において D0-ブレーンのダイナミクスから独立に出現するため、非可換幾何学と超弦理論的設定における量子重力の間の深い関係を示唆している。
• このアプローチにより、ループ量子重力がより広い非線形量子重力理論のクラスの D=0 限界として見なせることが示され、その基礎的立場についての新たな視点が得られる。