[論文レビュー] Quantum Mechanics without spacetime V - Why a quantum theory of gravity should be non-linear-

Tejinder P. Singh, Sashideep Gutti+1 more|ArXiv.org|Mar 30, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、重力が自己カップリングすると仮定する場合、古典的時空背景を持たない量子力学の定式化において、量子重力理論は本質的に非線形でなければならないと主張している。非可換幾何学を用いて、粒子質量がプランク質量に比べて非常に小さい極限で標準的な線形量子力学に還元される有効な非線形シュレーディンガー方程式を導出している。非線形性は量子重力的自己相互作用から生じる。

ABSTRACT

If there exists a formulation of quantum mechanics which does not refer to a background classical spacetime manifold, it then follows as a consequence, (upon making one plausible assumption), that a quantum description of gravity should be necessarily non-linear. This is true independent of the mathematical structure used for describing such a formulation of quantum mechanics. A specific model which exhibits this non-linearity is constructed, using the language of noncommutative geometry. We derive a non-linear Schrodinger equation for the quantum dynamics of a particle; this equation reduces to the standard linear Schrodinger equation when the mass of the particle is much smaller than Planck mass. It turns out that the non-linear equation found by us is very similar to a non-linear Schrodinger equation found by Doebner and Goldin in 1992 from considerations of unitary representaions of the infinite-dimensional group of diffeomorphisms in three spatial dimensions. Our analysis suggests that the diffusion constant introduced by Doebner and Goldin depends on the mass of the particle, and that this constant tends to zero in the limit in which the particle mass is much smaller than Planck mass, so that in this limit the non-linear theory reduces to standard linear quantum mechanics. A similar effective non-linear Schrodinger equation was also found for the quantum dynamics of a system of D0-branes, by Mavromatos and Szabo.

研究の動機と目的

• 古典的時空多様体を前提としない量子力学の定式化において、量子重力理論が非線形でなければならないかどうかを調査すること。
• 古典的背景時空が存在しない状況における重力の自己カップリングの意味を検討すること。
• 非可換幾何学を用いて、低質量極限で標準量子力学に還元される非線形量子力学のモデルを構築すること。
• 導出された非線形力学を、ドーバー＝ゴールディン方程式などの既存の非線形シュレーディンガー方程式と結びつけること。
• 中間質量領域、特にプランクスケール付近での非線形性の実験的検証法を提案すること。

提案手法

• 古典的物質場が存在しない場合、量子力学は古典的時空多様体を参照せずに定式化されなければならないと仮定する。
• 非可換微分幾何学において一般化された運動量と非対称計量を導入し、量子力学的運動をモデル化する。
• 波動関数を ψ_eff = ψ^{1/θ(m)} と再定義し、有効プランク定数 ℏ_eff = ℏθ(m) を用いて、有効な非線形シュレーディンガー方程式を導出する。
• 有効波動関数の連続の式を用いて、波動関数の位相に依存する補正項と質量に依存する非線形性を導出する。
• 非線形項が m ≪ m_Pl の極限で消えることを示し、標準的な線形量子力学に回復することを確認する。
• 導出された方程式をドーバー＝ゴールディン方程式と比較し、低質量極限でゼロに近づく質量依存の拡散定数を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景独立な量子力学の定式化は、必然的に非線形な量子重力理論を意味するのか？
• RQ2 本モデルで導出された非線形シュレーディンガー方程式は、m ≪ m_Pl 極限でどのように標準的な線形シュレーディンガー方程式に還元されるのか？
• RQ3 有効波動関数 ψ_eff の物理的解釈は何か？ そして、標準的な波動関数とはどのように異なるのか？
• RQ4 方程式の非線形性は、巨視的重ね合わせ状態に対する動的デコherence機構と結びつけることができるか？
• RQ5 この非線形枠組みにおいてボーンの法則の起源は何か？ また、波動関数の収束をどのように説明するのか？

主な発見

• 導出された非線形シュレーディンガー方程式は、粒子質量がプランク質量に比べて非常に小さい場合、標準的な線形シュレーディンガー方程式に還元され、低質量領域における既存の量子力学と整合性を確認する。
• 非線形性は質量に依存するパrameter θ(m) によって制御され、m → 0 の極限で θ(m) → 0 となるため、低質量極限では非線形補正が消えることが示される。
• m ≈ m_Pl のとき、ψ_eff は重ね合わせ状態に対して急速な振動を示し、量子重ね合わせの抑制をもたらす動的デコherence機構を示唆する。
• 連続の式への補正には波動関数の位相が関与しており、非線形領域において位相のダイナミクスが重要な役割を果たしていることが示唆される。
• 本モデルの非線形方程式はドーバー＝ゴールディン方程式に類似しており、拡散定数が (1 - θ(m)) に比例することが同定され、m ≪ m_Pl 極限でゼロに近づく。
• この枠組みは、非可換幾何学が非線形量子重力理論の自然な設定を提供することを示唆しており、空間的局在化や波動関数の収束を説明する可能性を秘めている。