[論文レビュー] Quantum metric of non-Hermitian Su-Schrieffer-Heeger systems

Chao Chen Ye, W. L. Vleeshouwers+3 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2023

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非エルミート的Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型に対する量子幾何学的枠組みを導入し、全トポロジカル位相図が、左および右の固有状態を含む量子計量テンソルにのみ正しく記述されることを示している。非エルミーシー性が擬リーマン的および複素量子幾何学を引き起こし、トポロジカル位相遷移が一般相対性理論における光的経路と数学的に一致することを明らかにした。これにより、量子幾何学における次元の縮小が生じ、特定の摂動に対してゼロ励起応答が可能になる。

ABSTRACT

Topological insulators have been studied intensively over the last decades. Earlier research focused on Hermitian Hamiltonians, but recently, peculiar and interesting properties were found by introducing non-Hermiticity. In this work, we apply a quantum geometric approach to various Hermitian and non-Hermitian versions of the Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model. We find that this method allows one to correctly identify different topological phases and topological phase transitions for all SSH models, but only when using the metric tensor containing both left and right eigenvectors. Whereas the quantum geometry of Hermitian systems is Riemannian, introducing non-Hermiticity leads to pseudo-Riemannian and complex geometries, thus significantly generalizing from the quantum geometries studied thus far. One remarkable example of this is the mathematical agreement between topological phase transition curves and lightlike paths in general relativity, suggesting a possibility of simulating space-times in non-Hermitian systems. We find that the metric in non-Hermitian phases degenerates in such a way that it effectively reduces the dimensionality of the quantum geometry by one. This implies that within linear response theory, one can perturb the system by a particular change of parameters while maintaining a zero excitation rate.

研究の動機と目的

• 非エルミート的トポロジカル系、特にSSH模型に対する量子幾何的解析を、標準的なエルミート的枠組みを越えて展開すること。
• 非エルミート系におけるトポロジカル位相および遷移を完全に捉えるために適切な量子計量テンソル（QMT）の定式化を同定すること。
• 非エルミーシー性が、量子幾何学をリーマン的から擬リーマン的または複素構造へと変化させる仕組みを解明すること。
• トポロジカル位相遷移と一般相対性理論における光的経路との幾何的対応関係を確立すること。
• 非エルミート的位相における計量の退化が、量子幾何学の有効次元を低下させ、特定の摂動下でゼロ励起率を実現可能にする仕組みを示すこと。

提案手法

• 非エルミートハミルトニアンの左および右の固有状態を用いて定義される、完全な双直交量子幾何テンソル（QGT）を用いて、量子計量テンソル（QMT）を計算する。
• QMTは、エルミート的、擬エルミート的、非対称（NH-SSH-NR）、複素跳躍（NH-SSH-C）といったさまざまなSSH模型に対して計算される。
• QMTを $ g_{\text{LR}} $、$ g_{\text{LL}} $、$ g_{\text{RR}} $ の成分に分解し、幾何的構造を分析し、トポロジカル遷移を示す特異点を検出する。
• パラメータ空間を、QMT成分の実部および虚部の3次元可視化によってマッピングし、位相境界および発散を特定する。
• 一般相対性理論と照らし合わせて幾何的構造を分析し、$ ds^2 = 0 $ となる場合（光的経路）が、トポロジカル位相遷移曲線と一致することを同定する。
• 有限サイズ効果を検討し、複素跳躍振幅における位相項の役割を分析することで、QMTに及ぼす非ゲージ不変な影響を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート的系における量子計量テンソルは、エルミート的対応物と比べて、トポロジカル位相を捉える点でどのように異なるか？
• RQ2 非エルミート的SSH模型の全トポロジカル位相図は、QMTの左または右固有状態成分のみを用いて再構成可能か？
• RQ3 完全な双直交QGTを用いた場合、非エルミート的系にどのような幾何的構造が現れるか—リーマン的、擬リーマン的、または複素構造か？
• RQ4 非エルミート的系におけるトポロジカル位相遷移は、一般相対性理論と同様にパラメータ空間における光的経路に対応するか？
• RQ5 非エルミート的位相における計量の退化が、量子幾何学の有効次元を低下させ、特定の周期的摂動下でゼロ励起率を実現する仕組みは何か？

主な発見

• 非エルミート的SSH模型の全トポロジカル位相図は、左および右の固有状態からの寄与を含む量子計量テンソルにのみ正しく同定される。
• 非エルミーシー性は、量子幾何学をエルミート的系のリーマン幾何学から、擬リーマン的または複素幾何学へと顕著に一般化する。
• パラメータ空間におけるトポロジカル位相遷移曲線は、計量における光的経路（$ ds^2 = 0 $）と数学的に一致し、一般相対性理論と幾何的双対性を示唆する。
• 非エルミート的位相では計量テンソルが退化し、量子幾何学の有効次元が1つ低下する。これにより、特定の周期的摂動下でゼロ励起率が実現可能になる。
• QMTの $ LR $ 成分に全トポロジカル情報が含まれており、$ LL $ および $ RR $ 成分はそれぞれ半分の情報を持ち、逆方向に発散（$ +\infty $ および $ -\infty $）する。これは双直交量子力学の必要性を確認する。
• 跳躍振幅における複素位相項はゲージ不変でなく、複素数値のQMTを生じさせ、ハミルトニアン解析のみでは得られない追加の物理的情報を提供する。