[論文レビュー] Quantum Moduli Spaces of Flat Connections

Anton Alekseev, Volker Schomerus|ArXiv.org|Dec 31, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、離散的量子群ゲージ理論を用いて、穴あきリーマン面への平坦接続のモジュライ空間の量子化として、量子モジュライ代数を構成する。モジュライ群の表現に対する閉じた公式を確立し、チェーン＝シモンズ理論における量子代数的枠組みを提供するとともに、明示的な位相的対称性作用を提示する。

ABSTRACT

Using the formalism of discrete quantum group gauge theory, one can construct the quantum algebras of observables for the Hamiltonian Chern-Simons model. The resulting moduli algebras provide quantizations of the algebra of functions on the moduli spaces of flat connections on a punctured 2-dimensional surface. In this note we describe some features of these moduli algebras with special emphasis on the natural action of mapping class groups. This leads, in particular, to a closed formula for representations of the mapping class groups on conformal blocks.

研究の動機と目的

• 穴あき2次元曲面上の平坦接続のモジュライ空間のための量子代数的枠組みの構築。
• ハミルトニアンチェーン＝シモンズモデルにおける観測量の量子代数の構成のため、離散的量子群ゲージ理論の応用。
• この量子モジュライ代数上でのマッピングクラス群の自然な作用の記述。
• モジュライ群が conformal block 上に表現する閉じた公式の導出。
• 平坦接続のモジュライ空間上の関数の古典的代数の量子化の提供。

提案手法

• チェーン＝シモンズモデルの観測量の量子代数を構成するために、離散的量子群ゲージ理論を用いる。
• 穴あき曲面にこの形式的枠組みを適用し、穴をウィルソン線や欠損として符号化する。
• 量子モジュライ代数を、平坦接続のモジュライ空間上の関数の古典的代数の量子化として特定する。
• びまだれテンソルカテゴリの構造を介して、マッピングクラス群の量子モジュライ代数上への作用を導出する。
• 量子代数構造を用いて、モジュライ群が conformal block 上に表現する閉じた表現式を確立する。
• 位相的不変性と対称性を符号化するために、量子群の代数的構造とその表現に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あきリーマン面における平坦接続のモジュライ空間は、ゲージ理論的手法を用いてどのように量子化できるか？
• RQ2 このような曲面上のハミルトニアンチェーン＝シモンズ理論における観測量の量子代数の構造は何か？
• RQ3 マッピングクラス群は、この量子モジュライ代数および conformal block 上にどのように作用するか？
• RQ4 この設定において、モジュライ群が conformal block 上に表現する閉じた公式を導出できるか？
• RQ5 量子モジュライ代数とモジュライ空間上の関数の古典的代数との正確な関係は何か？

主な発見

• 量子モジュライ代数は、穴あき曲面上の平坦接続のモジュライ空間上の関数の古典的代数の量子化として構成される。
• マッピングクラス群は、量子モジュライ代数上に自然に作用し、その代数的構造を保存する。
• モジュライ群が conformal block 上に表現する閉じた公式が、量子群構造を用いて導出される。
• 量子観測量の代数の体系的実現を可能にするために、離散的量子群ゲージ理論が用いられる。
• 得られる量子代数は、曲面およびその穴の位相的・幾何的データを符号化する。
• 形式的枠組みは、2+1次元位相的場理論における平坦接続の量子幾何のきめ細かな代数的実現を提供する。