[論文レビュー] Quantum Networks for Generating Arbitrary Quantum States

Phillip Kaye, Michele Mosca|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

この論文では、非負の実数振幅を持つ任意の量子状態を、事前に準備されたキュービットに条件付けられた制御回転のシーケンスを用いて、効率的に生成する量子アルゴリズムを提示する。条件付き確率が効率的に計算可能な場合、たとえば対称状態やその重ね合わせの場合、多対数時間で高精度の状態準備が達成できる。

ABSTRACT

Quantum protocols often require the generation of specific quantum states. We describe a quantum algorithm for generating any prescribed quantum state. For an important subclass of states, including pure symmetric states, this algorithm is efficient.

研究の動機と目的

• 任意の非負の実数振幅を持つ希望する量子状態を効率的に準備する一般の量子アルゴリズムを開発すること。
• 標準的な量子ゲートだけでは構築できない量子状態を効率的に生成する挑戦に応えること。
• 特に対称状態や構造的状態に対してスケーラブルな状態準備フレームワークを提供すること。
• 誤差許容値 $\epsilon$ によって制御される精度で高精度の状態生成を保証すること。
• 代表的な状態クラス、たとえば対称状態や対称状態の重ね合わせに対して効率性を示すこと。

提案手法

• 各回転が直前の $k-1$ 個のキュービットの状態に条件付けられる $n$ 個の制御回転のシーケンスにより、ターゲット状態 $|\Psi\rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} \alpha_x |x\rangle$ を構築する。
• 条件付き確率が状態振幅から導かれるように、制御回転 $c-U_{x_1\ldots x_{k-1}0}^\Psi$ を定義し、$k$ 番目のキュービットを振幅が $\alpha_{x_1\ldots x_k}$ に比例する重ね合わせ状態に準備する。
• 状態 $|\Psi\rangle$ の古典的パラメータを符号化する量子レジスタ $|\overline{\Psi}\rangle$ を用い、アーキテクチャの逆転可能な算術演算によりアダジャックキュービット上で必要な回転角を計算する。
• 位相推定技術と制御位相シフトを用いて回転を実装し、$c-S_\omega$ ゲートを活用して $\omega_k$ に関連する $e^{2\pi i \omega}$ を近似する。
• 対称状態の場合、ハミング重みの計算を用いて、条件付き確率 $\left(\frac{\alpha_{x_1\ldots x_{k-1}0}}{\alpha_{x_1\ldots x_{k-1}}}\right)^2 = \frac{r - H(x_1\ldots x_{k-1})}{n - k + 1}$ を効率的に計算できる。
• 特定の状態に対しては、ターゲット状態が固定されている場合に $|\overline{\Psi}\rangle$ レジスタを削除することで回路を簡略化できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の量子アルゴリズムが、非負の実数振幅を持つ任意の量子状態を効率的に準備できるか。
• RQ2 制御回転アプローチが、ゲート数と深さの観点から、効率的な状態準備をもたらす条件は何か。
• RQ3 量子回路内で、キュービット状態準備のための条件付き確率を効率的に計算する方法は何か。
• RQ4 この手法が、対称状態および対称状態の重ね合わせにどの程度適用可能か。
• RQ5 目標精度 $1 - \epsilon$ を達成するために必要なリソースコスト（キュービット数とゲート数）は何か。

主な発見

• このアルゴリズムは、非負の実数振幅を持つ任意の $n$-キュービット量子状態を、直前のキュービットレジスタに条件付けられた $n$ 個の逐次的制御回転を用いて生成する。
• 対称状態 $|S_r\rangle = \frac{1}{\sqrt{\binom{n}{r}}} \sum_{H(x)=r} |x\rangle$ に対しては、条件付き確率 $\left(\frac{\alpha_{x_1\ldots x_{k-1}0}}{\alpha_{x_1\ldots x_{k-1}}}\right)^2 = \frac{r - H(x_1\ldots x_{k-1})}{n - k + 1}$ がハミング重みの評価を用いて効率的に計算可能である。
• アルゴリズムは、$O(\log(1/\epsilon))$ 個のアダジャックキュービットと $\text{polylog}(1/\epsilon)$ 個の基本的演算を用いて、少なくとも $1 - \epsilon$ の忠実度を達成し、高精度な状態準備を保証する。
• 条件付き確率 $\left(\frac{\alpha_{x_1\ldots x_k0}}{\alpha_{x_1\ldots x_k}}\right)^2$ が多対数時間で計算可能な状態族に対して、この手法は効率的である。たとえば対称状態や対称状態の重ね合わせがこれに該当する。
• ターゲット状態が固定されている場合には、一般の $|\overline{\Psi}\rangle$ レジスタが不要になり、回路の複雑さが低減できる。
• このフレームワークを用いることで、[CEMM98] からの位相符号化技術と組み合わせることで、任意の位相状態の準備が可能になる。