[論文レビュー] Quantum no-signalling correlations and non-local games

Ivan G. Todorov, Lyudmila Turowska|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 53被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、古典的非局所ゲームの一般化として、量子非局所ゲームを導入し、グラフ彩色および非可換グラフ準同型の量子版を定義する。合成ゲームにおける完全な量子戦略がチャネル合成のもとでも完全のままであることを確立し、普遍作用素系上のテンソル積状態を用いて、量子版の直交ランクおよび非可換グラフ準同型を同定する。

ABSTRACT

We introduce and examine three subclasses of the family of quantum no-signalling (QNS) correlations introduced by Duan and Winter: quantum commuting, quantum and local. We formalise the notion of a universal TRO of a block operator isometry, define an operator system, universal for stochastic operator matrices, and realise it as a quotient of a matrix algebra. We describe the classes of QNS correlations in terms of states on the tensor products of two copies of the universal operator system, and specialise the correlation classes and their representations to classical-to-quantum correlations. We study various quantum versions of synchronous no-signalling correlations and show that they possess invariance properties for suitable sets of states. We introduce quantum non-local games as a generalisation of non-local games. We define the operation of quantum game composition and show that the perfect strategies belonging to a certain class are closed under channel composition. We specialise to the case of graph colourings, where we exhibit quantum versions of the orthogonal rank of a graph as the optimal output dimension for which perfect classical-to-quantum strategies of the graph colouring game exist, as well as to non-commutative graph homomorphisms, where we identify quantum versions of non-commutative graph homomorphisms introduced by Stahlke.

研究の動機と目的

• 古典的非局所ゲームを量子-量子設定に一般化し、量子入力および出力を可能にする。
• 作用素系およびC*-代数を用いて、グラフ彩色および非可換グラフ準同型の量子版を定義する。
• 特に量子可換および量子戦略に関して、完全戦略のゲーム合成における閉包性を確立する。
• テンソル積の普遍作用素系上の状態を用いて、量子局所不能（QNS）相関を特徴付ける。
• 量子準同型の推移性およびトレース的・公平なQNS相関の構造に関する未解決問題を解消する。

提案手法

• 確率的作用素行列の普遍作用素系を導入し、行列代数の商として実現する。
• テンソル積の普遍作用素系上の状態を用いて、QNS相関の3つの部分クラス—量子可換、量子、局所—を定義する。
• CQNS相関（古典-量子相関）にフレームワークを適用し、トレースを伴う作用素系上の状態を用いて特徴付ける。
• チャネル合成を用いて量子ゲームの合成を導入し、完全戦略が合成のもとで閉じていることを示す。
• トレース保存写像および純粋状態分解を用いて、合成戦略が完全かつ局所不能のままであることを検証する。
• フレームワークをグラフ彩色および非可換グラフ準同型に適用し、完全戦略に必要な最小出力次元として量子直交ランクを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所ゲームはどのようにして量子入力および出力を許容するように一般化可能であり、そのような量子非局所ゲームの構造的性質は何か？
• RQ2 グラフの直交ランクの量子アナログは何か？また、グラフ彩色ゲームにおける完全な量子戦略の存在とどのように関係するか？
• RQ3 完全な量子戦略はどのような条件下で合成に関して閉じており、その性質は量子グラフ準同型の推移性とどのように関係するか？
• RQ4 トレース的および公平なQNS相関は合成に関してどのように振る舞い、どのような不変性を示すか？
• RQ5 普遍作用素系およびテンソル積状態は、量子局所不能相関を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 合成された量子非局所ゲームにおける完全な量子戦略は、チャネル合成のもとでも完全のままであり、局所、量子、量子可換戦略のクラスが閉じていることを確立する。
• グラフの量子直交ランクは、グラフ彩色ゲームにおいて完全な古典-量子戦略が存在するための最小出力次元として同定される。
• 量子非可換グラフ準同型は、量子準同型ゲームにおいて完全な量子戦略を許容するものとして特徴付けられ、Stahlkeの概念を一般化する。
• トレース的QNS相関のクラスは合成に関して閉じており、C*-代数のテンソル積上の積トレースが戦略の完全性を保存する。
• 確率的作用素行列の普遍作用素系は、行列代数の商として実現され、QNS相関を記述する普遍的フレームワークを提供する。
• 量子準同型の推移性が確立された：U →_x V および V →_x W ならば、x ∈ {loc, q, qc} に対して U →_x W が成り立ち、[71]および[57]の結果を拡張する。