[論文レビュー] Quantum Online Algorithms with Respect to Space Complexity

Kamil Khadiev, Aliya Khadieva+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子オンラインアルゴリズムを導入し、部分対数的および多対数的空間計算量の両方において、古典的手法を上回ることを示している。量子アルゴリズムは、より少ないメモリでより優れた競合比を達成でき、共有EPRペアを用いる場合、古典的手法に比べて必要なアドバイスキュービットを半分に削減できることを示しており、その例として、n/2アドバイスキュービットで最適性能を達成するページング問題が提示されている。

ABSTRACT

Online algorithm is a well-known computational model. We introduce quantum online algorithms and investigate them with respect to a competitive ratio in two points of view: space complexity and advice complexity. We start with exploring a model with restricted memory and show that quantum online algorithms can be better than classical ones (deterministic or randomized) for sublogarithmic space (memory), and they can be better than deterministic online algorithms without restriction for memory. Additionally, we consider polylogarithmic space case and show that in this case, quantum online algorithms can be better than deterministic ones as well.

研究の動機と目的

• 空間計算量とアドバイス計算量の制約下における量子オンラインアルゴリズムの調査。
• 競合比の観点から、量子オンラインアルゴリズムと古典的決定的および確率的アルゴリズムの比較。
• 量子モデルが、同等またはより高い効率で古典的手法をシミュレートできるかどうかの探求。
• オンライン計算におけるアドバイス計算量に与える共有もつれキュービット（EPRペア）の影響の分析。
• ページング問題や(n,k,r,w)-帽子の数のパリティ問題といった代表的な問題への量子モデルの適用。

提案手法

• 本稿では、量子的および古典的コンponentsを併せ持つ量子オンラインアルゴリズムのモデルを導入し、純粋に量子状態のみを用いる純粋量子オンラインアルゴリズムを定義している。
• メモリをsビットに制限することで空間計算量を分析し、1キュービットの量子アルゴリズムが部分対数的空間において古典的手法を上回ることを示している。
• アドバイス計算量に関しては、プライベートキュービットと共有EPRペアの2つのモデルを提案し、アドバイザーとアルゴリズム間での量子通信を用いている。
• EPRペアのもつれによる量子優位性を応用し、アドバイスキュービットの使用量を2倍に削減するプロトコルを、[BW92]のプロトコルに基づいて実現している。
• 量子オンラインアルゴリズムが、最大sビットの古典的メモリと1キュービットの追加メモリを用いて、同じ競合比で古典的確率的アルゴリズムをシミュレートできることを証明している。
• 理論的枠組みを(n,k,r,w)-帽子の数のパリティ問題とページング問題に適用し、最小限のアドバイスで最適な結果を達成している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分対数的空間制約下で、量子オンラインアルゴリズムは、古典的決定的または確率的アルゴリズムよりも優れた競合比を達成できるか？
• RQ2 量子オンラインアルゴリズムは、同等またはより良いメモリ効率で、古典的確率的アルゴリズムをシミュレートできるか？
• RQ3 共有もつれキュービット（EPRペア）を用いることで、古典的アドバイスに比べて、オンラインアルゴリズムにおける必要なアドバイスキュービット数が減少するか？
• RQ4 ページング問題における量子オンラインアルゴリズムの最小アドバイスキュービット要件は何か？また、古典的アドバイスに比べて半分にできるか？
• RQ5 多対数的空間設定下で、量子オンラインアルゴリズムの競合比は古典的手法と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 1キュービットの量子オンラインアルゴリズムは、部分対数的空間において、いかなる古典的決定的または確率的アルゴリズムよりも優れた性能を発揮する。これは、古典的アルゴリズムがメモリ制限なしに動作しても同様に成り立つ。
• (n,k,r,w)-帽子の数のパリティ問題において、1アドバイスキュービットを用いる量子オンラインアルゴリズムは最適性能を達成するが、古典的アルゴリズムはより多くのアドバイスを必要とするか、競合比が劣る。
• 量子オンラインアルゴリズムは、最大sビットの古典的メモリと1つの追加キュービットを用いて、同じ競合比で古典的確率的アルゴリズムをシミュレートできることを示しており、量子モデルが少なくとも同等の計算能力を持つことを証明している。
• 共有EPRペアを用いる場合、量子オンラインアルゴリズムはbビットの古典的アドバイスに比べ、必要なアドバイスキュービットを⌈b/2⌉にまで削減でき、実質的にアドバイスコストを半分にできる。
• ページング問題において、共有もつれキュービットを用いる最適な量子オンラインアルゴリズムは、n/2アドバイスキュービットで十分であり、古典的最適ケースのnビットに比べて顕著に効率的である。
• 本稿では、アドバイス付き量子オンラインアルゴリズムが、空間計算量とアドバイス計算量を削減しながら、古典的手法と同等またはより優れた競合比を達成できることを確立している。