[論文レビュー] Quantum-optical states in finite-dimensional Hilbert space. I. General formalism

Adam Miranowicz, W. Leoński+1 more|ArXiv.org|Aug 16, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限次元（FD）ヒルベルト空間における量子光学状態を構築する一般形式を、2つの異なるアプローチ（一般化coherent状態（GCS）と切断coherent状態（TCS））を用いて提案する。離散Wigner関数と、ヘルミート多項式の根に基づく新規な解析的手法を用い、FD coherent状態の正確な係数を導出する。その結果、無限次元極限において、TCSがGCSよりも従来のGlauber coherent状態に速やかに収束することが示された。

ABSTRACT

The interest in quantum-optical states confined in finite-dimensional Hilbert spaces has recently been stimulated by the progress in quantum computing, quantum-optical state preparation, and measurement techniques, in particular, by the development of the discrete quantum-state tomography. In the first part of our review we present two essentially different approaches to define harmonic oscillator states in the finite-dimensional Hilbert spaces. One of them is related to the truncation scheme of Pegg, Phillips and Barnett [Phys. Rev. Lett. 81, 1604 (1998)] -- the so-called quantum scissors device. The second method corresponds to the truncation scheme of Leoński and Tanaś [Phys. Rev. A 49, R20 (1994)]. We propose some new definitions of the states related to these truncation schemes and find their explicit forms in the Fock representation. We discuss finite-dimensional generalizations of coherent states, phase coherent states, displaced number states, Schrödinger cats, and squeezed vacuum. We show some intriguing properties of the states with the help of the discrete Wigner function.

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間における量子光学状態を構築する統一的な形式を構築すること。
• 有限次元系における一般化coherent状態（GCS）と切断coherent状態（TCS）の違いを明確にすること。
• Bużekらが提起した問題を解決するため、FD coherent状態の係数に対する解析的解を提供すること。
• 無限次元極限に移る前の有限次元での状態解析を通じて、Pegg-Barnett位相形式のより深い理解を可能にすること。
• 離散的数-位相Wigner関数の図的表現を提示し、FD量子状態の直感的解釈を可能にすること。

提案手法

• 奇数次元系に特化したWootersの構成に基づく離散Wigner関数形式を、有限次元ヒルベルト空間へ一般化する。
• バーカー＝オースターの公式に由来する再帰的関係式を用い、FD系における非可換なc数でない交換関係に適応した係数 $ d^{(s)}_{nk} $ を導出する。
• ヘルミート多項式 $ He_{s+1}(x) $ の根を用いた解析的解法により、Fock表現の係数 $ b^{(s)}_n $ を閉形式で導出する（式(A.7)に表現）。
• 導出した係数式を用いて、FD空間における位相変位演算子を介して一般化および切断coherent状態を構築する。
• 参考文献[18]の手法を用い、位相および振幅依存性を有するFock基底におけるcoherent状態の表現を実現する。
• 離散的数-位相Wigner関数の図的表現を生成し、状態の性質や挙動を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ヒルベルト空間における一般化coherent状態と切断coherent状態は、位相変位パラメータにどのように依存するか？
• RQ2 有限次元coherent状態のFock表現係数の解析的構造は何か？また、無限次元極限への収束はどのように進行するか？
• RQ3 一般化coherent状態と切断coherent状態の収束速度は、$ s \to \infty $ 極限において、従来のGlauber coherent状態と比較してどうなるか？
• RQ4 離散Wigner関数は、FD量子光学状態の位相および数の性質をどのように特徴付けるか？
• RQ5 無限次元極限に移る前の有限次元状態解析を通じて、Pegg-Barnett位相形式はどのようによりよく理解できるか？

主な発見

• すべての有限 $ s $ に対して、切断coherent状態（TCS）は非周期的であるが、一般化coherent状態（GCS）は $ s=1,2 $ では周期的、より高い $ s $ では準周期的である。
• 一般化coherent状態と切断coherent状態の両方が、$ s \to \infty $ 極限において従来のGlauber coherent状態に収束する。
• 切断coherent状態は、一般化coherent状態よりも、従来のGlauber coherent状態に速やかに収束する。
• 係数 $ b^{(s)}_n $ の解析的解は、$ He_{s+1}(x) $ の根を用いて閉形式で得られ、BuŻekらが提起した問題を解決した。
• 離散Wigner関数は、シュレーディンガーの猫状態やスケーリング真空状態を含む、FD量子光学状態の数-位相性質を直感的に可視化する。
• 本手法により、有限次元の位相変位およびスケーリング演算子を用いて、位相ずらし数状態、位相coherent状態、偶数/奇数coherent状態など、さまざまなFD状態を明示的に構築可能である。