[論文レビュー] Quantum Pascal's Triangle and Sierpinski's carpet

Tom Bannink, Harry Buhrman|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アダマール量子ウォークを用いてパラスの三角形の量子版を導入し、振幅を整数にスケーリングして3を法として還元すると、シエルピンスキー・カーペットのフラクタル構造が出現することを示している。著者らはルーカスの定理を用いてこれを証明し、この現象を特定のクラスの量子ウォークに一般化し、古典的パラスの三角形に存在しない新たなフラクタル構造を明らかにした。

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle. Pascal's triangle is a well-known triangular array of numbers and when these numbers are plotted modulo 2, a fractal known as the Sierpinski triangle appears. We first prove the appearance of more general fractals when Pascal's triangle is considered modulo prime powers. The numbers in Pascal's triangle can be obtained by scaling the probabilities of the simple symmetric random walk on the line. In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle by replacing the random walk by the quantum walk known as the Hadamard walk. We show that when the amplitudes of the Hadamard walk are scaled to become integers and plotted modulo three, a fractal known as the Sierpinski carpet emerges and we provide a proof of this using Lucas's theorem. We furthermore give a general class of quantum walks for which this phenomenon occurs.

研究の動機と目的

• 量子ウォーク、特にアダマールウォークを用いてパラスの三角形の量子アナログを調査すること。
• 量子ウォークの振幅を素数のべきを法として還元したときに出現するフラクタル構造を調査すること。
• 振幅を3を法として還元した際、シエルピンスキー・カーペットのフラクタルが量子ウォークの振幅に出現することを証明すること。
• アダマールウォークを超えるクラスの量子ウォークに、フラクタルの出現を一般化すること。
• ルーカスの定理を介して、量子ウォークの振幅と数論的性質の間の関係を確立すること。

提案手法

• アダマール行列を用いたコインの反転操作とシフト操作を用いて、1次元直線上のアダマール量子ウォークをモデル化すること。
• ユニタリ演算子 $ U = S(I \otimes H) $ を用いてウォークの振幅の進化を導出すること。ここで $ S $ はシフト、$ H $ はアダマールコインである。
• 振幅を整数にスケーリングするために $ H $ を $ \sqrt{2}H $ に置き換えることで、整数値の振幅が得られること。
• スケーリングされた振幅にモジュロ算術（特に3を法として）を適用し、フラクタルパターンを明らかにすること。
• ルーカスの定理を用いて、還元されたパターンが3を法としてシエルピンスキー・カーペットであることを形式的に証明すること。
• 振幅の三角形の対角線を分析して再帰関係を導出し、フラクタルの自己相似性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ウォークのパラスの三角形アナログは、振幅を素数を法として還元した際にフラクタル構造を生じるか？
• RQ2 なぜアダマールウォークの振幅を3を法として還元するとシエルピンスキー・カーペットが出現するのか？これは古典的パラスの三角形には見られない。
• RQ3 ルーカスの定理を用いて、量子ウォークの振幅におけるフラクタルの出現を証明できるか？
• RQ4 どのような一般クラスの量子ウォークが、振幅のモジュロ還元によってフラクタルパターンを生じるか？
• RQ5 量子ウォークの三角形における対角線の再帰関係は、古典的パラスの三角形におけるそれらとどのように異なるか？

主な発見

• アダマールウォークの振幅を整数にスケーリングし、3を法として還元すると、シエルピンスキー・カーペットのフラクタル構造が出現する。
• ルーカスの定理を用いて、シエルピンスキー・カーペットの出現が厳密に証明され、このフラクタルパターンの数論的基盤が確立された。
• パラスの三角形を素数のべきを法として考えるとき、シエルピンスキー・トライアングルよりも一般的なフラクタルが出現し、既知の結果が拡張された。
• スケーリングされた量子ウォークの三角形の各行のすべての振幅の和は、常に2の累乗であり、パラスの三角形と同様の構造的性質を保った。
• 量子ウォークの振幅三角形の対角線は線形再帰関係を満たし、赤成分と青成分で異なる初期条件を持つため、フラクタルの自己相似性が生じる。
• 振幅のモジュロ還元によるフラクタル出現が生じる量子ウォークの一般クラスが同定された。