[論文レビュー] Quantum Pattern Matching

Paulo Mateus, Yasser Omar|ArXiv.org|Aug 31, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、シンボルベースのクエリ関数を用いた、一度コンパイルして何度も実行するアプローチを採用することで、非構造化データベースにおける最近接パターンマッチングのための量子アルゴリズムを提案する。与えられたパターンに最も近い部分文字列を特定する際、$O(\sqrt{N})$のクエリ複雑度を達成し、古典的手法に比べて2乗の高速化を実現。静的データベース上で効率的かつ再利用可能な検索が可能となる。

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm for closest pattern matching which allows us to search for as many distinct patterns as we wish in a given string (database), requiring a query function per symbol of the pattern alphabet. This represents a significant practical advantage when compared to Grover's search algorithm as well as to other quantum pattern matching methods, which rely on building specific queries for particular patterns. Our method makes arbitrary searches on long static databases much more realistic and implementable. Our algorithm, inspired by Grover's, returns the position of the closest substring to a given pattern of size $M$ with non-negligible probability in $O(\sqrt{N})$ queries, where $N$ is the size of the string. Furthermore, we give the full recipe to implement our algorithm (together with its total circuit complexity), thus offering an oracle-based quantum algorithm ready to be implemented.

研究の動機と目的

• 各新しい検索ごとに高コストなオーガナイザー構築を要する既存の量子探索アルゴリズムの現実的でない点を是正する。
• データベースのオーガナイザー構築を個々のクエリから分離することで、静的データベースにおける効率的かつ繰り返し可能なパターンマッチングを実現する。
• ノイズや変化するデータにおける正確なパターンマッチングのより現実的な変種である、最近接部分文字列問題に対する実用的な量子アルゴリズムを開発する。
• 実世界での導入に適した、明示的な回路複雑度解析を含む完全で実装可能な量子回路を提供する。
• 特にパターンサイズ $M$ がデータベースサイズ $N$ より小さい場合に、古典的手法に比べて顕著な高速化を達成する。

提案手法

• Boyerら（1998年）の修正版グローバー探索アルゴリズムを、複数の解を扱えるように変更し、与えられたパターンに最も近い一致を検出可能にする。
• パターンアルファベットに含まれる各シンボルごとにクエリ関数を構築することで、同じデータベース上で任意の将来の検索をサポートするための単一の事前処理ステップを可能にする。
• 制御NOTゲートとマルチ制御パウリ-Xゲートを用いて、すべての可能なパターン位置を量子重ね合わせ状態に符号化した高度にエンタングルされた初期状態を準備する。
• 各候補部分文字列をターゲットパターンとシンボルレベルの比較によって比較するオーガナイザー関数を用いて位相マーキングを実装する。
• 測定確率を最も近い一致に高めるために振幅増幅を適用し、$O(\sqrt{N})$回の反復を繰り返す。
• アダマールゲートによる重ね合わせと、位置のエンタングルメントを実現する制御操作を含む、明示的なゲート分解を用いた完全な量子回路を設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的データベース上で複数のパターン検索を実行する際、一度の再コンパイルで再利用可能なオーガナイザー構築が可能な量子アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 実用的な量子手法を用いて、古典的手法に比べて最近接部分文字列問題において2乗の高速化を達成できるか？
• RQ3 初期状態の準備を、最小限の回路深さで、すべての可能なパターン位置を重ね合わせ状態に符号化できるように効率的に実装できるか？
• RQ4 オーガナイザー構築と振幅増幅を含めた完全に実装可能な量子パターンマッチングアルゴリズムの総回路複雑度は何か？
• RQ5 任意のパターンに対して一般化可能であり、パターンサイズ $M$ にかかわらず $O(\sqrt{N})$ のクエリ複雑度を維持できるか？

主な発見

• 与えられたパターンに最も近い部分文字列を特定する際、$O(\sqrt{N})$のクエリ複雑度を達成し、古典的手法の$O(MN)$複雑度に比べて2乗の高速化を実現する。
• 総実行時間複雑度は $O(N^{3/2}\log^2 N \log M)$ であり、データベースアクセスの古典的複雑度 $O(MN^2)$ より顕著に低い。
• コンパイル時間複雑度は $O(N\log^2 N \times |\Sigma|)$ であり、$|\Sigma|$ はアルファベットサイズである。事前処理において効率的である。
• 初期状態準備の複雑度は $O(M\log^3(N-M))$ であり、パターンサイズ $M$ に依存するが、セットアップ後はデータベースサイズ $N$ とは独立する。
• 一度の事前処理ステップを経ることで、同じデータベース上で任意のパターン検索が可能となり、「一度コンパイル、何度も実行」のパラダイムを実現する。
• 完全な量子回路は明示的に構築されており、ゲート分解を含む。各制御操作あたり $O(\log^2 N)$ のC-NOTおよびパウリ-Xゲートを含み、近い未来の量子ハードウェアでも実装可能である。