[論文レビュー] Quantum percolation and Anderson transition point for transport of a two-state particle

C. M. Chandrashekar, Thomas Busch|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Complex Network Analysis Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本研究は、正方形、ヘキサゴナル、ナノチューブ幾何構造における2次元格子上での指向的離散時間量子ウォークを介した2準位粒子の量子パーコレーションを調査し、格子サイズが増加するにつれてパーコレーション閾値が1に近づくことを明らかにした。連続近似による解析は正方形格子の数値結果を確認しており、不規則系における量子輸送および局在化の理解を深めている。

ABSTRACT

Quantum percolation describes the problem of a quantum particle moving through a disordered system. While certain similarities to classical percolation exist, the quantum case has additional complexity due to the possibility of Anderson localisation. Here, we consider a directed discrete-time quantum walk as a model to study quantum percolation of a two-state particle on a two-dimensional lattice. Using numerical analysis we determine the fraction of connected edges required (transition point) in the lattice for the two-state particle to percolate with finite (non-zero) probability for three fundamental lattice geometries, finite square lattice, honeycomb lattice, and nanotube structure and show that it tends towards unity for increasing lattice sizes. To support the numerical results we also use a continuum approximation to analytically derive the expression for the percolation probability for the case of the square lattice and show that it agrees with the numerically obtained results for the discrete case. Beyond the fundamental interest to understand the dynamics of a two-state particle on a lattice (network) with disconnected vertices, our study has the potential to shed light on the transport dynamics in various quantum condensed matter systems and the construction of quantum information processing and communication protocols.

研究の動機と目的

• アンドリュー局在化が競合する不規則格子における2準位量子粒子の輸送挙動を理解すること。
• 不規則系における有限のパーコレーション確率を達成するために必要な接続エッジの臨界割合を特定すること。
• 正方形、ヘキサゴナル、ナノチューブ構造といった異なる格子幾何構造における量子パーコレーション閾値を比較すること。
• 連続近似を用いて正方形格子の数値結果を検証し、離散的・連続的モデルの橋渡しを行うこと。
• 凝縮系系における量子輸送および量子情報プロトコルに関する知見を提供すること。

提案手法

• ランダムなエッジ接続性を有する有限2次元格子上での2準位粒子を指向的離散時間量子ウォークとしてモデル化する。
• 異なる格子タイプにおけるエッジ接続性割合の関数としてパーコレーション確率を数値的に計算するシミュレーションを実施する。
• 連続近似を用いて正方形格子のパーコレーション確率を解析的に導出し、離散的結果と比較可能にする。
• 格子サイズが無限大に近づく際のパーコレーション閾値の漸近的挙動を分析する。
• 有限正方形、ヘキサゴナル、ナノチューブ格子の3つの基本的幾何構造に焦点を当て、遷移点の構造的依存性を評価する。
• 数値収束解析を用いて、格子サイズが大きくなるとパーコレーション閾値が1に近づくことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則2次元格子上における2準位量子粒子が非ゼロの確率でパーコレーションするためには、接続エッジの臨界割合はどれほどか？
• RQ2 パーコレーション閾値は格子幾何構造にどのように依存するか。特に正方形、ヘキサゴナル、ナノチューブ構造において。
• RQ3 連続近似は、正方形格子における離散的量子ウォークモデルで観測されたパーコレーション確率を正確に予測できるか？
• RQ4 格子サイズが増加するに従って、パーコレーション閾値はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 有限接続性を有する量子系において、アンドリュー局在化はどれほどパーコレーションを抑制するか？

主な発見

• 2準位量子粒子のパーコレーション閾値は、格子サイズが増加するにつれて1に近づくことが判明し、有限のパーコレーション確率を得るにはほぼすべてのエッジが接続されている必要があることを示している。
• 数値結果は、正方形、ヘキサゴナル、ナノチューブ格子の間で一貫したパーコレーション閾値を示しており、大規模極限において1に収束することが確認された。
• 連続近似は、離散的量子ウォークモデルにおける正方形格子のパーコレーション確率を正確に再現でき、解析的手法の妥当性が裏付けられた。
• 本研究は、不規則系における量子パーコレーションが局在化効果に強く影響されることを確認しており、輸送が可能になるにはほぼ完全な接続性が必要であることを示している。
• 結果から、このような系における量子輸送は不規則性に対して極めて感受性が高く、パーコレーションはほぼ完全な接続性が実現された場合にのみ可能であると示唆された。
• 本研究の知見は、複雑なネットワークにおける量子輸送の理解に基盤を提供し、耐障害性を持つ量子情報システムの設計に役立つ可能性がある。