[論文レビュー] Quantum Physics and Fluctuating Topologies: Survey

M. Asorey, A. P. Balachandran+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己随伴作用素、境界条件、スペクトル三重項を用いて、量子重力における量子的トポロジー変化のフレームワークを提案する。境界条件を量子変数として取り扱うことで、波動関数が異なるトポロジーを重ね合わせられることを示し、大N極限においてβ=1で3次相転移が発生し、古典的トポロジーが局在化することが示される。β→∞の極限では、単位長の円が支配的になる。

ABSTRACT

The spin-statistics connection, quantum gravity and other physical considerations suggest that classical space-time topology is not an immutable attribute and can change in quantum physics. The implementation of topology change using quantum principles has been studied for over two decades by a few of us. There has been a recent revival of interest in some of our work, dating back to as early as 1995. The present paper is meant as a resource article to our major relevant papers. It contains summaries of the contents of the cited papers and the corresponding links wherever available.

研究の動機と目的

• 量子的トポロジーの揺らぎを持つ状態から、古典的時空トポロジーがどのように出現するかを調査すること。
• コボルディズム定理により標準的関数的積分が失敗するため、量子重力におけるトポロジー変化の実装の挑戦に取り組むこと。
• 自己随伴作用素の境界条件の滑らかな変化からトポロジー変化が生じる、量子力学的枠組みを構築すること。
• 低エネルギー物理学と大微分同相変換から導かれる代数的構造を通じて、量子重力におけるトポロジーの役割を調査すること。
• ジオンとホップ代数を用いて、トポロジー変化、スピン統計則、および量子重力における異常との関係を確立すること。

提案手法

• 境界を持つ多様体上でのラプラシアンおよびディラック作用素の自己随伴拡張を用い、境界条件によるトポロジー変化をモデル化する。
• フォン・ノイマンの自己随伴拡張分類を適用して、許容される境界条件とその物理的意味を完全に特徴付ける。
• 可能なトポロジーの空間$Q_{\text{TOP}}$上にスペクトル三重項形式を導入し、単一のプラケットを持つ$U(N)$格子ゲージ理論によって力学をモデル化する。
• パrameter$\beta$を含む分配関数を定義し、$\beta \to \infty$が古典的トポロジー局在に対応する。
• ゲージ群$G$が有限部分群$H$に破れることで、低エネルギーヤン・ミルズ・ヒッグス理論から得られるトポロジカルな代数を構成し、ヴォーテックスフラックスと大微分同相変換を捉える。
• ジオン多様体の基本群へのマッピングクラス群の作用を解析し、微分同相変換の異常を検出することで、混合状態量子重力に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件を通じて、異なるトポロジーの量子重ね合わせから古典的トポロジーが出現しうるか？
• RQ2 スペクトル三重項と$U(N)$格子ゲージ理論が、量子的トポロジー変化をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 パrameter$\beta$は、モデルにおける量子的トポロジーから古典的トポロジーへの遷移をどのように制御するか？
• RQ4 微分同相変換不変性を破ることなく、量子重力においてトポロジー変化を一貫して実装できるか？
• RQ5 ジオンを含むトポロジカルに非自明な時空では、スピン統計則の性質はいかなるものか？

主な発見

• $\beta > \beta_c = 1$では、有限サイズの円が唯一の古典的トポロジーとなり、$\beta \to \infty$の極限で単位長の円が支配的になる。
• 大N極限において、$\beta_c = 1$で3次相転移が発生し、トポロジー分布における臨界的変化を示す。
• 線分を円に接続する境界条件は古典的トポロジーに対応し、これらは量子空間$Q_{\text{TOP}}$に埋め込まれる。
• 空間$Q_{\text{TOP}}$上のスペクトル作用は、単一のプラケットを持つ$U(N)$格子ゲージ理論に対応し、揺らぐトポロジーの力学的モデルを提供する。
• 大微分同相変換はジオン多様体上で異常に作用し、純粋状態における従来の量子重力の微分同相変換不変性を破る。
• マッピングクラス群の作用における異常は、微分同相変換不変性を回復させるために混合状態の導入を必要とする。