[論文レビュー] Quantum physics as the projective representation theory of Noether symmetries

T. A. Larsson|ArXiv.org|Aug 30, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分同相および観測者の軌道の再パrametrizationを含むネネール対称性の射影表現理論から量子力学が生じることを示す、新しい量子化スキームを提案する。古典的物理学を運動量を含むコーゾル＝テイトコホモロジーで定式化し、場の展開を有限次 p で切断し、フォック空間におけるポアソン括弧を交換子に置き換えることで、有限 p に対して一貫した量子理論が得られるが、無限大極限では課題が生じる。

ABSTRACT

I construct lowest-energy representations of non-centrally extended algebras of Noether symmetries, including diffeomorphisms and reparametrizations of the observer's trajectory. This may be viewed as a new scheme for quantization. First classical physics is formulated as the cohomology of a certain Koszul-Tate (KT) complex, using not only fields and antifields but also their conjugate momenta. Then all fields are expanded in a Taylor series around the observer's present position, and terms of order higher than p are truncated. Finally, quantization is carried out by replacing Poisson brackets by commutators and imposing the KT cohomology in Fock space. This procedure is consistent for finite p, but the limit p o\infty leads to difficulties.

研究の動機と目的

• ネネール対称性の射影表現理論に基づく、量子化の新しい枠組みを構築すること。
• 場とその共役運動量をコホモロジー的形式で統合することで、量子化の基礎的問題を扱うこと。
• 正準量子化の無限次元極限における不整合を解消するために、場の展開を有限次 p で切断すること。
• フォック空間におけるポアソン括弧を交換子に置き換えつつコーゾル＝テイトコホモロジーを保持することで、有限 p に対して一貫した量子理論を確立すること。
• 観測者に依存する対称性、例えば軌道の再パラメータ化を含む、量子場理論における量子表現構造への影響を調査すること。

提案手法

• 場とその共役運動量を含むコホモロジー的形式を用いて古典的物理学を定式化する。
• すべての場を観測者の現在位置の周りでテイラー展開し、次数 p で切断する。
• 微分同相および再パラメータ化不変性を含む、ネネール対称性の非中心拡張代数の最低エネルギー表現を構成する。
• フォック空間におけるポアソン括弧を交換子に置き換えることで量子化を実装する。
• 量子フォック空間においてコーゾル＝テイトコホモロジー条件を課して一貫性を保証する。
• p → ∞ の極限における理論の振る舞いを分析し、一貫した無限次元量子化への障害を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学は、ネネール対称性の射影表現理論から体系的に導けるか？
• RQ2 コーゾル＝テイト複体に運動量を含めることで、場の理論の古典的および量子的構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 有限次元の切断が量子化手続きの一貫性を保証する役割を果たす理由は何か？
• RQ4 なぜ極限 p → ∞ が、提案された量子化スキームにおいて困難を引き起こすのか？
• RQ5 再パラメータ化不変性のような観測者に依存する対称性が、量子表現構造に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたスキームは、有限の p 値に対して一貫した量子理論をもたらし、切断が量子化手続きの安定化に寄与することを示している。
• 非中心拡張対称性代数の最低エネルギー表現が、この枠組み内で構成可能であり、量子力学への直接的な接続を提供している。
• 運動量をコーゾル＝テイト複体に含めることで、古典的力学のより包括的なコホモロジー的定式化が可能になった。
• 量子化は、ポアソン括弧を交換子に置き換え、フォック空間において KT コホモロジー条件を課えることで達成される。
• 無限次元極限（p → ∞）は不整合を引き起こし、有限 p の構成を完全な場の理論に拡張する上で根本的な障害があることを示している。
• この枠組みは、自然に微分同相および観測者の軌道の再パラメータ化不変性を、量子対称性代数の一部として組み込んでいる。