[論文レビュー] Quantum Physics, Relativity, and Complex Spacetime: Towards a New Synthesis

Gerald Kaiser|ArXiv.org|Oct 2, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、時空を複素幾何に拡張することで、量子力学と相対性理論を統一するフレームワークを提案する。相対論的コherent状態が前方チューブ T+ 内で与えられ、クライン=ゴルドン粒子およびディラック粒子に対して共変な確率解釈が可能になる。主な結果は、|f(x−iy)|² が6次元位相空間上で正で保存される確率密度を与えることであり、解析接続と再生核ヒルベルト空間を用いることで、実時空における負の確率問題が解決される。

ABSTRACT

The positivity of the energy in relativistic quantum mechanics implies that wave functions can be continued analytically to the forward tube T in complex spacetime. For Klein-Gordon particles, we interpret T as an extended (8D) classical phase space containing all 6D classical phase spaces as symplectic submanifolds. The evaluation maps $e_z: f o f(z)$ of wave functions on T are relativistic coherent states reducing to the Gaussian coherent states in the nonrelativistic limit. It is known that no covariant probability interpretation exists for Klein-Gordon particles in real spacetime because the time component of the conserved "probability current" can attain negative values even for positive-energy solutions. We show that this problem is solved very naturally in complex spacetime, where $|f(x-iy)|^2$ is interpreted as a probability density on all 6D phase spaces in T which, when integrated over the "momentum" variables y, gives a conserved spacetime probability current whose time component is a positive regularization of the usual one. Similar results are obtained for Dirac particles, where the evaluation maps $e_z$ are spinor-valued relativistic coherent states. For free quantized Klein-Gordon and Dirac fields, the above formalism extends to n-particle/antiparticle coherent states whose scalar products are Wightman functions. The 2-point function plays the role of a reproducing kernel for the one-particle and antiparticle subspaces.

研究の動機と目的

• クライン=ゴルドン粒子およびディラック粒子の相対論的量子力学における長年の負の確率問題を解決すること。
• 特に前方チューブ T+ を通じて、複素時空を用いて時空と古典的位相空間を幾何学的に統一すること。
• 波動関数の解析接続を用いて、相対論的粒子に対して共変かつ正の確率解釈を確立すること。
• 自由な量子化場へと形式主義を拡張し、n粒子コherent状態を構築し、その内積がWightman関数を与えること。
• 2点関数が複素時空における1粒子および反粒子部分空間に対して再生核として機能することを示すこと。

提案手法

• 実ミンコフスキー時空から前方チューブ T+ 内の複素時空（8次元）へ、正エネルギー波動関数を解析接続する。
• z ∈ T+ に対して評価写像 ez(f) = f(z) を定義し、相対論的コherent状態とみなす。これはガウス型コherent状態を相対論的領域に一般化する。
• 6次元位相空間（パrameter (x,y)）上で、|f(x−iy)|² を確率密度として定義し、y を運動量変数とみなす。
• y について積分することで、時間成分が正で正則化された保存される時空確率流が得られることを示す。
• 自由なクライン=ゴルドンおよびディラック場に理論を適用し、フォック空間と再生核構造を用いて n粒子/反粒子コherent状態を構築する。
• 2点Wightman関数が、複素位相空間枠組みにおける1粒子および反粒子部分空間の再生核として特定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の確率が生じない、一貫性があり共変な確率解釈を相対論的粒子に対して構築できるか？
• RQ2 相対論的粒子の古典的位相空間を、複素時空構造に幾何学的に埋め込む方法は何か？
• RQ3 解析接続とコherent状態は、量子力学と特殊相対性理論を調和させる役割を果たすか？
• RQ4 複素時空におけるコherent状態の文脈で、Wightman関数がどのように再生核として現れるか？
• RQ5 この形式主義は、相対論的に不変な方法で、多体系および第二量子化場へと拡張可能か？

主な発見

• |f(x−iy)|² は、前方チューブ T+ 内のすべての6次元位相空間上で正で保存される確率密度を与える。
• 運動量変数 y について |f(x−iy)|² を積分することで得られる確率流の時間成分は正であり、実時空における従来の負値を正則化する。
• z ∈ T+ に対して定義された相対論的コherent状態 ez(f) = f(z) は、ガウス型コherent状態を一般化し、非相対論的極限ではそれらに還元される。
• 自由なクライン=ゴルドン場に対しては、n粒子/反粒子コherent状態が得られ、その内積はWightman関数で与えられる。
• 2点Wightman関数は、複素位相空間枠組みにおける1粒子および反粒子部分空間の再生核として機能する。
• この構成は、複素時空とコherent状態に基づく統一場理論の幾何学的・代数的基盤を提供する。