[論文レビュー] Quantum polar decomposition algorithm

Seth Lloyd, Samuel Bosch+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、行列 A = UB の極分解（U はユニタリ、B は正定値エルミート）を計算する決定的量子アルゴリズムを提示する。ここで U はユニタリで、B は正定値エルミートである。このアルゴリズムは、ハミルトニアン H = [[0, A†], [A, 0]] を適用できる能力のみを用いる。アルゴリズムは、ヒルベルト空間次元に依存しない時間 O(κ) で U、e^{-iBt}、e^{-iB̃t} を効率的に実装可能であり、量子プロクラステス問題、パラフレーゼの良い測定、正のハミルトニアン近似への応用が可能である。

ABSTRACT

The polar decomposition for a matrix $A$ is $A=UB$, where $B$ is a positive Hermitian matrix and $U$ is unitary (or, if $A$ is not square, an isometry). This paper shows that the ability to apply a Hamiltonian $\pmatrix{ 0 & A^\dagger \cr A & 0 \cr} $ translates into the ability to perform the transformations $e^{-iBt}$ and $U$ in a deterministic fashion. We show how to use the quantum polar decomposition algorithm to solve the quantum Procrustes problem, to perform pretty good measurements, to find the positive Hamiltonian closest to any Hamiltonian, and to perform a Hamiltonian version of the quantum singular value transformation.

研究の動機と目的

• 特定のハミルトニアン H = [[0, A†], [A, 0]] にのみアクセス可能な状況下で、行列の極分解 U、B、B̃ を決定的に実装する量子アルゴリズムを開発すること。
• 量子線形システムアルゴリズムを拡張し、A から導かれるユニタリおよび正定値エルミート変換の決定的実装を可能にすること。
• 量子情報プロトコル、特に量子プロクラステス問題、パラフレーゼの良い測定、正のハミルトニアン近似への応用を可能にすること。
• 無限次元ヒルベルト空間、特に量子場や調和振動子にまでこの手法を一般化すること。
• 量子特異値変換（QSVT）のハミルトニアンに基づく類似物、すなわち「QSVTのハミルトニアン版」を確立すること。

提案手法

• 位相推定を用いて、H の固有状態と固有値推定値を相関付ける一般化された量子線形システムアルゴリズムを用いる。
• 1次トレターリゼーションを用いて、ブロック対角ハミルトニアン M = [[D, A†], [A, D̃]] にユニタリ変換 V = P₀ - P₁ を適用し、有効ハミルトニアン [[0, A†], [A, 0]] を生成する。
• [[0, A†], [A, 0]] を適用できる能力を活用し、同じ位相推定および逆変換フレームワークを用いて e^{-iBt} および e^{-iB̃t} を実装する。
• 時間複雑度 O(κ) でユニタリ U = A(A†A)^{-1/2} を実装する。ここで κ は A の条件数である。
• 連続変数量子計算技術を用いて、消滅演算子や生成演算子を含む無限次元系（例：量子調和振動子）への拡張を実現する。
• 得られた U を用いて、計算基底での測定を実行し、U† を用いた後処理により出力状態を準備することで、パラフレーゼの良い測定を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のブロックハミルトニアンにのみアクセス可能な量子設定下で、行列の極分解を決定的に計算できるか？
• RQ2 H = [[0, A†], [A, 0]] を適用できる能力のみを用いて、U、B、B̃ を実装する際の時間複雑度は何か？
• RQ3 このアルゴリズムは、量子場を記述するような無限次元ヒルベルト空間へ拡張可能か？
• RQ4 量子極分解は、量子プロクラステス問題を解き、パラフレーゼの良い測定を実装するためにどのように利用できるか？
• RQ5 量子特異値変換のハミルトニアン版は存在するか？もしあるならば、どのように構築されるか？

主な発見

• 量子極分解アルゴリズムは、A の条件数 κ を用いて、時間 O(κ) でユニタリ U = A(A†A)^{-1/2} を実装する。
• e^{-iBt} および e^{-iB̃t} の変換は、必要な精度 ε に対して時間 O(κt/ε) で実装される。
• アルゴリズムの実行時間はヒルベルト空間次元に依存せず、量子調和振動子などの無限次元系への応用が可能である。
• 入出力ペアを再構成することで最適ユニタリを同定できるため、この手法により量子プロクラステス問題が効率的に解ける。
• ユニタリ U を実装し、計算基底で測定し、U† を用いた後処理により測定結果を準備することで、パラフレーゼの良い測定が可能になる。
• この構成は、スペクトル的性質に基づく量子アルゴリズムの新しいフレームワークを提供する、量子特異値変換のハミルトニアン版に一般化可能である。