[論文レビュー] Quantum Probability Theory and the Foundations of Quantum Mechanics

Jürg Fröhlich, Baptiste Schubnel|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子確率論および作用素代数の技術、特にTomita-Takesakiのモジュラー理論を用いて、量子力学の基礎的問題を再定式化する。状態の情報損失、もつれ、およびvon Neumann代数における条件付き期待値に注目することで、経験的性質と測定を数学的に厳密な枠組みで定義し、中心化子と状態の代数の中心がモジュラー自己同型不変性および条件付き期待値を通じて測定可能な観測量を符号化していることを示している。

ABSTRACT

We attempt to contribute some novel points of view to the "foundations of quantum mechanics", using mathematical tools from "quantum probability theory" (such as the theory of operator algebras). We first introduce an abstract algebraic framework for the formulation of mathematical models of physical systems that is general enough to encompass classical and quantum mechanical models. After a short discussion on the properties of classical systems (realism and determinism), we move on to the study of a general class of quantum-mechanical models of physical systems and explain what some of the key problems in a quantum theory of observations and measurements are. In the last part of our essay, we attempt to elucidate the roles played by entanglement between a system and its environment and of information loss in understanding "decoherence" and "dephasing", which are key mechanisms in a quantum theory of measurements and experiments. We also discuss the problem of "time in quantum mechanics" and sketch an answer to the question when an experiment can be considered to have been completed successfully.

研究の動機と目的

• 解釈論争を超えて、量子確率論と作用素代数を用いて量子力学の基礎を再定式化すること。
• 経験的性質を条件付き期待値やモジュラー自己同型といった数学的構造に根ざさせることで、量子基礎における概念的危機を解消すること。
• 情報損失と状態の分離の観点から、量子力学における測定と観測の本質を明確化すること。
• 状態の代数の中心化子と中心が、モジュラー不変性を通じて測定可能で安定な観測量に対応することを示すこと。
• 非破壊測定と量子系における経験的性質のダイナミクスのための厳密な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 物理系を$C^*$-およびvon Neumann代数でモデル化し、状態をこれらの代数上の正の線形汎関数として表現する。
• Tomita-Takesakiのモジュラー理論を適用して、モジュラー自己同型群$\alpha_\sigma(a) = \Delta_\omega^{i\sigma} a \Delta_\omega^{-i\sigma}$を定義し、時間発展を状態構造に関連付ける。
• 中心化子と状態の中心への射影としての条件付き期待値$\epsilon^\omega$および$\dot{\epsilon}^\omega$を導入し、$\omega(a) = \omega(\epsilon^\omega(a))$を満たすようにする。
• 経験的性質を条件付き期待値$\dot{\epsilon}^\omega(a) = a^\omega$によって定義し、これは中心化子の中心への演算子の射影であり、測定可能な量を表す。
• KMS条件およびモジュラー作用素$\Delta_\omega$のスペクトル性質を用いて、分離的かつ正規な状態を特徴づけ、数学的整合性を保証する。
• Takesakiの定理を適用して、部分代数$\mathcal{N} \subset \mathcal{M}$がモジュラー群に関して不変であるための必要十分条件として、ノルム1の$\sigma$-弱連続な条件付き期待値$\epsilon: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$が存在すること（$\omega(a) = \omega(\epsilon(a))$をすべての$a \in \mathcal{M}$で満たす）を示し、代数的構造と物理的測定可能性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的性質は、条件付き期待値のような代数的構造を用いて、どのように厳密に定義できるか？
• RQ2 Tomita-Takesakiのモジュラー自己同型群は、測定可能な観測量および時間発展を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 情報損失ともつれは、von Neumann代数およびその部分代数の構造にどのように現れるか？
• RQ4 von Neumann代数$\mathcal{M}$上の状態$\omega$が、中心化子または中心への良好に定義された条件付き期待値を許容するための条件は何か？
• RQ5 部分代数がモジュラー群に関して不変であることは、量子系における非破壊測定の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 状態$\omega$のvon Neumann代数$\mathcal{M}$における中心化子$\mathcal{C}^\omega_\mathcal{M}$は、Tomita-Takesakiのモジュラー自己同型群の固定点集合であり、すなわち$\mathcal{C}^\omega_\mathcal{M} = \{a \in \mathcal{M} \mid \Delta_\omega^{i\sigma} a \Delta_\omega^{-i\sigma} = a \text{ for all } \sigma \in \mathbb{R}\}$である。
• 部分代数$\mathcal{N} \subset \mathcal{M}$がモジュラー自己同型群に関して不変であるための必要十分条件は、ノルム1で$\sigma$-弱連続な条件付き期待値$\epsilon: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$が存在し、すべての$a \in \mathcal{M}$に対して$\omega(a) = \omega(\epsilon(a))$を満たすことである。
• 状態$\omega$における演算子$a$の分散は、$\Delta^\omega_t a = \sqrt{\omega((a - a^\omega)^* (a - a^\omega))}$で定義され、ここで$a^\omega = \dot{\epsilon}^\omega(a)$である。これは経験的値における不確実性の尺度を提供する。
• 状態$\omega$が$\mathcal{M}$に対して分離的であるとき、$\{a, \omega\}_\mathcal{M} = 0$は、すべての$\sigma \in \mathbb{R}$に対して$\Delta_\omega^{i\sigma} a \Delta_\omega^{-i\sigma} = a$と同値である。これは代数的可換性とモジュラー不変性を結びつける。
• 中心化子$\mathcal{C}^\omega_\mathcal{M}$への条件付き期待値$\epsilon^\omega$は、$\epsilon^\omega(a) = a$であるための必要十分条件が$a$が中心化子のすべての要素と可換であることである。これは状態の構造と整合性を保証する。
• 状態$\omega$が$\mathcal{E}^\omega_{\geq t}$に対して分離的である特別な場合、密度行列$\rho^\omega_{\geq t}$は正の固有値をもつ必要があり、これにより条件付き期待値$\epsilon^\omega_{\geq t}$および$\dot{\epsilon}^\omega_{\geq t}$が良好に定義される。