[論文レビュー] Quantum quench and thermalization to GGE in arbitrary dimensions and the odd-even effect

Parijat Banerjee, Adwait Gaikwad+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2019

Quantum many-body systems参考文献 63被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、任意の空間次元において自由スカラー場理論における量子クイルク動的を調査し、急激な質量クイルク後に局所相関関数が一般化ギブス集団（GGE）に均衡することを示している。d+1次元における正確な計算を通じて、奇数次元と偶数次元の違いが明らかになる：奇数dでは緩和が指数関数的であり、偶数dではべき則的である。初期状態や無関係な演算子の依存性も詳細に分析されている。本研究は1+1次元の結果を高次元に一般化し、自由理論における非平衡熱化の普遍的枠組みを確立している。

ABSTRACT

In many quantum quench experiments involving cold atom systems the post-quench system can be described by a quantum field theory of free scalars or fermions, typically in a box or in an external potential. We work with free scalars in arbitrary dimensions generalizing the techniques employed in our earlier work \cite{Mandal:2015kxi} in 1+1 dimensions. In this paper, we generalize to $d$ spatial dimensions for arbitrary $d$. The system is considered in a box much larger than any other scale of interest. We start with the ground state, or a squeezed state, with a high mass and suddenly quench the system to zero mass ("critical quench"). We explicitly compute time-dependence of local correlators and show that at long times they are described by a generalized Gibbs ensemble (GGE), which, in special cases, reduce to a thermal (Gibbs) ensemble. The equilibration of {\it local} correlators can be regarded as `subsystem thermalization' which we simply call 'thermalization' here (the notion of thermalization here also includes equlibration to GGE). The rate of approach to equilibrium is exponential or power law depending on whether $d$ is odd or even respectively. As in 1+1 dimensions, details of the quench protocol affect the long time behaviour; this underlines the importance of irrelevant operators at IR in non-equilibrium situations. We also discuss quenches from a high mass to a lower non-zero mass, and find that in this case the approach to equilibrium is given by a power law in time, for all spatial dimensions $d$, even or odd.

研究の動機と目的

• 1+1次元から任意の空間次元dへの自由スカラー場の量子クイルク動的を一般化すること。
• 急激な臨界点（質量ゼロ）へのクイルク後に局所相関関数が一般化ギブス集団（GGE）に均衡するかどうか、およびその方法を特定すること。
• 初期状態の準備方法（特に基底状態対スケール状態）が長時間挙動と緩和速度に与える影響を調査すること。
• 次元間の緩和ダイナミクスにおける奇数偶数効果の起源を、特に2点関数の時間依存性に注目して解明すること。
• 一般化カルアレス・カーディ（gCC）状態を介したKaluza-Klein解釈を通じて、クイルク後の状態と熱的／GGE相関関数との関係を確立すること。

提案手法

• 本研究は、d次元空間において高質量初期ハミルトニアンから臨界（質量ゼロ）最終ハミルトニアンへの急激な量子クイルクプロトコルを採用する。
• 任意のdにおける運動量積分の取り扱いに注意を払い、正確なモード展開とフーリエ変換を用いてスカラー場の時間依存2点関数を計算する。
• クイルク後の状態が無限個の保存量を持つ一般化カルアレス・カーディ（gCC）状態に等価であることが示され、これによりGGEの正確な解析が可能になる。
• 長時間における相関関数の漸近的挙動を評価するために、留数計算と特殊関数（ベッセル関数、シュトライク関数、ポリガンマ関数、変形ベッセル関数）を用いる。
• 保存量μ(k)を用いた密度行列からGGE2点関数を導出し、μ(k) ∝ βω(k)のとき熱的極限と一致することを示す。
• GGE相関関数を高次元場理論への写像として解釈するKaluza-Klein解釈を構築し、緩和がコンact化された余剰次元に関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由スカラー場理論において、1+1次元を超えて任意のdに対して局所相関関数のGGEへの均衡が成立するか？
• RQ2 d次元空間における量子クイルク後の均衡への緩和レートの関数的形は何か？また、dの偶奇性に依存するか？
• RQ3 初期条件（特に基底状態対スケール状態）は、長時間挙動およびGGEの出現にどのように影響するか？
• RQ4 非平衡量子場理論における赤外（IR）領域において、無関係な演算子が緩和ダイナミクスを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 d+1次元におけるGGE相関関数は、高次元のKaluza-Kleinコンパクト化として解釈可能か？その結果、保存量の構造にどのような含意があるか？

主な発見

• 臨界クイルク（質量ゼロ）の下で、⟨φφ⟩2点関数の長時間挙動には奇数偶数効果が現れる：奇数dでは指数的減衰、偶数dではべき則的減衰∼1/t²。
• 2+1次元（d=2）では、長時間における⟨φφ⟩相関関数は1/(128π²κ²t²) + (3r² + 16κ²²)/(211π²κ²t⁴) + O(t⁻⁶)と減衰し、べき則的緩和を確認する。
• 4+1次元（d=4）では、⟨φφ⟩相関関数は1/(128π²κ²t²) + (3r² + 16κ²²)/(211π²κ²t⁴)に漸近し、同じべき則的依存性を示す。
• 質量があるクイルク（非ゼロ質量）では、すべてのdにおいて時間に伴うべき則的減衰が成立し、主要項は∼1/t²である。
• d=4における熱的2点関数は⟨φφ⟩_β ≈ i/(8π²t³) − 1/(8π²βt²) + β/(16π²t⁴) + O(t⁻⁶)と与えられ、t⁻³に紫外特異性を示す。
• GGE相関関数は閉じた形で⟨φφ⟩_μ = 1/2 ∫ ddk/(2π)^d e^{i⃗k·⃗x} / ω_out [cos(ω_out t) coth(μ(k)/2) − i sin(ω_out t)] として導出され、μ(k) ∝ βω(k)のとき熱的形に簡約される。