[論文レビュー] Quantum random walks and thermalisation

Alexander C. R. Belton|ArXiv.org|Oct 16, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の忠実正規状態にある粒子を用いた量子ランダムウォークについて収束定理を確立し、熱平衡効果を示している：極限における量子確率的コサイクルはゲージ項のない量子ランジュバン方程式を満たす。この結果は、アタールとジョイの研究を一般化し、状態ベクトルのGNS構成における直交補空間に対応する量子ノイズのみが力学に寄与することを示しており、直感的な期待とは対照的に、有効なノイズ次元が著しく低減されている。

ABSTRACT

It is shown how to construct quantum random walks with particles in an arbitrary faithful normal state. A convergence theorem is obtained for such walks, which demonstrates a thermalisation effect: the limit cocycle obeys a quantum stochastic differential equation without gauge terms. Examples are presented which generalise that of Attal and Joye (2007, J. Funct. Anal. 247, 253-288).

研究の動機と目的

• 真空状態の粒子を用いた量子ランダムウォークにおける熱平衡効果を、任意の忠実正規状態にある粒子に一般化すること。
• 弱結合極限におけるこのようなウォークの収束定理を確立し、量子確率的コサイクルへの収束を示すこと。
• コサイクルの極限生成子を特徴づけ、状態の構造のおかげでゲージ項を含まないことを証明すること。
• 粒子のヒルベルト空間 $ \textsf{K} $ の次元を $ n = \text{dim}(\textsf{K}) $ とすると、独立な量子ノイズの数が $ n^4 - 1 $ から最大で $ 2(n^2 - 1) $ にまで低減されることを示すこと。
• 行列作用素空間とリンゼイ＝ウィルズの量子確率的積分法を用いた統一的枠組みを提供し、$ C^* $-代数および量子群上のこのようなウォークを解析すること。

提案手法

• 粒子状態 $ \rho $ をヒルベルト空間 $ \textsf{K} $ 上にGNS構成を用いて表現し、循環的ベクトル $ \rho $ とその直交補空間 $ \textsf{k} = \textsf{h}^\bot $ に分解する。
• 弱結合極限形式を適用する：$ \tau > 0 $ が小さいとき、ウォーク生成子 $ \tau^{-1} \big( \text{Id} \bigotimes \text{Id} - \text{Ad}_{\text{exp}(i\tau H_{\text{tot}})} \big) $ を $ \tau \to 0^+ $ で解析する。
• 生成子が状態 $ \rho $ を保存する条件付き期待値 $ d $ に対して、極限生成子の $ \rho $-依存部分が適切に定義されることを保証する条件を課す。
• 極限における量子確率的コサイクル $ k_t $ を、ゲージ項のない非ゲージノイズ積分 $ \text{d}\text{L}^\beta_\beta $ のみを含む量子ランジュバン方程式を通じて導出する。ここで $ \beta = 0 $ または $ \beta \neq 0 $ であるが、$ \beta \neq 0 $ の $ \text{d}\text{L}^\beta_\beta $ 項は存在しない。
• 非可換力学を扱い、量子確率的積分法と整合性を保つために、行列作用素空間枠組み $ \textsf{V} \rtimes_{\text{M}} B(\textsf{H}) $ を用いる。
• エヴァンス＝ハドソンのフロー形式を適用し、極限コサイクル $ k^\rho $ が内因的でかつ $* $-ホモーマーフィックであることを示し、これはフォック空間内でのユニタリ発展から生じることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子が真空状態ではなく、一般の忠実正規状態にある場合に、極限力学に寄与するのは量子ノイズの部分集合であるという熱平衡効果が維持されるか？
• RQ2 弱結合極限における極限生成子 $ \rho $ の正確な構造は何か？ また、条件付き期待値 $ d $ と状態 $ \rho $ にどのように依存するか？
• RQ3 極限力学における独立な量子ノイズの数は、粒子のヒルベルト空間 $ \textsf{K} $ の次元にどのように依存するか？ また、直感的な推定値 $ n^4 - 1 $ よりも低いまま保たれるか？
• RQ4 系代数が非可換であっても、行列作用素空間枠組みを用いて量子ランダムウォークが量子確率的コサイクルに収束することを確立できるか？
• RQ5 極限コサイクルが内因的エヴァンス＝ハドソンフローとなる条件は何か？ また、これは $ \rho $ のGNS表現の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 極限における量子確率的コサイクル $ k_t $ は、ゲージ項のない量子ランジュバン方程式 (1) を満たす：$ \text{d}k_t(a) = \text{sum} \big( k_s(\rho^{\beta}_\beta(a)) \text{d}\text{L}^\beta_\beta(s) \big) $、ここで $ \rho^{\beta}_\beta = 0 $ となるのは $ \beta = 0 $ の場合に限る。
• 極限における独立な量子ノイズの数は、$ n = \text{dim}(\textsf{K}) $ とすると最大で $ 2(n^2 - 1) $ にまで低減される。これはゲージ項が消えるためであり、直感的な推定値 $ n^4 - 1 $ よりも著しく小さい。
• 極限生成子 $ \rho $ は条件付き期待値 $ d $ と極限での $ \rho $-依存写像 $ \rho $ から明示的に構成され、$ \rho^{\beta}_\beta = 0 $ となるのは $ \beta = 0 $ の場合に限る。
• 粒子のヒルベルト空間 $ \textsf{K} $ が有限次元のとき、生成子 $ \rho $ は系代数上でのリンドブラッド型生成子に簡略化され、既知のオープン量子系の結果と整合する。
• 極限コサイクル $ k^\rho $ は内因的エヴァンス＝ハドソンフローである。これはユニタリ過程 $ X_t $ が存在し、$ k^\rho_t(a) = X^*_t (a \bigotimes I_{\textsf{k}}) X_t $ を満たし、$ X_t $ が量子確率的微分方程式を満たすことで示される。
• 収束は完全有界ノルムで成立し、極限は $* $-ホモーマーフィックであるため、極限力学が量子マコフ的進化と整合的であることが確認される。