[論文レビュー] Quantum random walks in one dimension

Norio Konno|ArXiv.org|Jun 10, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、2×2ユニタリ行列Uとその導出された4つの行列P, Q, R, Sを用いて、1次元格子上の量子ランダムウォークを経路積分的手法で分析する。ウォークのm番目のモーメントの組み合わせ的表現を導出し、新しい極限定理を確立するとともに、分布の対称性の必要十分条件を提示。古典的ランダムウォークとは顕著な相違を示すことが判明——特に非ガウス型の極限定理分布と高速な拡散速度が特徴。

ABSTRACT

This letter treats the quantum random walk on the line determined by a 2 times 2 unitary matrix U. A combinatorial expression for the mth moment of the quantum random walk is presented by using 4 matrices, P, Q, R and S given by U. The dependence of the mth moment on U and initial qubit state phi is clarified. A new type of limit theorems for the quantum walk is given. Furthermore necessary and sufficient conditions for symmetry of distribution for the quantum walk is presented. Our results show that the behavior of quantum random walk is striking different from that of the classical ramdom walk.

研究の動機と目的

• ユニタリ行列Uおよび初期キュービット状態φに依存する量子ランダムウォークのモーメントと分布の依存関係を分析すること。
• Uから導出される4つの行列を用いて、特性関数の組み合わせ的枠組みを構築すること。
• 古典的中心極限定理とは根本的に異なる、量子ウォークのための新しい極限定理を確立すること。
• ウォークの分布が原点に関して対称となるための必要十分条件を同定すること。
• 特に拡散速度と分布形状の面で、量子ウォークと古典的ランダムウォークの動的挙動の顕著な相違を明確にすること。

提案手法

• 左回転・右回転のチラリティ状態に作用する2×2ユニタリ行列Uを用いて量子ウォークを定義し、Uから導出される行列P, Qを用いて時間発展における振幅伝播を記述する。
• Uから導出される4つの行列P, Q, R, Sを導入し、すべての経路に関する和として特性関数を組み合わせ的に表現する。
• ヤコビ多項式の漸近的解析を用いて、ウォークの確率分布の長時間挙動を導出する。
• 経路積分法を用いて、ウォークのm番目のモーメントをUおよび初期状態φの関数として計算する。
• Xₙⁿ/nの漸近的分布を解析することで極限定理を導出し、非ガウス型でコンパクトに台を持つ密度関数への収束を示す。
• 複素解析および三角恒等式を用いて、位相因子とφおよびUに依存する振動関数に依存する振幅を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子ランダムウォークのm番目のモーメントは、ユニタリ行列Uおよび初期キュービット状態φにどのように依存するか？
• RQ2 量子ウォークの位置の漸近的分布は何か？ これは古典的中心極限定理とどのように異なるか？
• RQ3 Uおよびφに関して、量子ウォークの分布が原点に関して対称となる条件は何か？
• RQ4 量子ウォークの拡散速度は何か？ これは古典的ランダムウォークと比べてどうか？
• RQ5 非ガウス型の挙動を捉える一般の極限定理を、量子ウォークに対して導出可能か？

主な発見

• 量子ウォークのm番目のモーメントは、ユニタリ行列Uおよび初期キュービット状態φに明示的に依存し、P, Q, R, S行列を用いて明示的な組み合わせ的表現が得られた。
• 量子ウォークの極限定理分布は非ガウス型であり、コンパクトに台を持つ。対称的初期状態では、分母に√(1 - 2x²)を含む密度関数に収束する。
• 対称的初期状態φ = [1/√2, i/√2]のハダマードウォークでは、極限定理分布が∫ₐᵇ 1/(π(1 - x²)√(1 - 2x²)) dx で与えられ、古典的ガウス型極限とは著しく異なる。
• 対称的初期状態の場合、極限定理分布の標準偏差は√((2 - √2)/2) ≈ 0.54119に比例し、古典的ランダムウォークの√(1/2) ≈ 0.707より著しく速いため、超拡散的拡散を示す。
• 非対称的初期状態φ = [0, e^{iθ}]の場合、極限定理分布はシフトし、E(Xₙ)/n → (2 - √2)/2 ≈ 0.29289、標準偏差は√((√2 - 1)/2) ≈ 0.45508に収束し、数値シミュレーションと整合的である。
• 本稿では、対称性の必要十分条件を証明した：分布が対称であるための必要十分条件は、|α|² = |β|²およびRe(aαβ̄ + āβᾱ) = 0であり、対称性はUおよびφの両方に依存する。