[論文レビュー] Quantum Randomness and Nondeterminism

Emanuel Knill|ArXiv.org|Oct 9, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、量子計算における量子の確率性と非決定性を調査し、標準的な量子確率的ソースが計算パワーを向上させないことを示している。しかし、非決定的選択が古典的ビット列ではなく量子状態であるという「完全な量子非決定性」を導入し、古典的非決定性よりも洗練された複雑性構造を明らかにした。これは、量子状態の複雑性および測定誘発非決定性のパワーに関するインパクトを持つ。

ABSTRACT

Does the notion of a quantum randomized or nondeterministic algorithm make sense, and if so, does quantum randomness or nondeterminism add power? Although reasonable quantum random sources do not add computational power, the discussion of quantum randomness naturally leads to several definitions of the complexity of quantum states. Unlike classical string complexity, both deterministic and nondeterministic quantum state complexities are interesting. A notion of \emph{total quantum nondeterminism} is introduced for decision problems. This notion may be a proper extension of classical nondeterminism.

研究の動機と目的

• 量子の確率性や非決定性が、古典的確率的計算を上回る計算パワーを提供するかどうかを検討すること。
• 特に任意の量子状態を準備・近似する難易度を特徴づける、量子状態複雑性の定義と分析を行うこと。
• 非決定的選択が古典的ビット列ではなく量子状態であるという「完全な量子非決定性」の概念を導入し、評価すること。
• 量子アルゴリズムにおける測定誘発非決定性が、古典的非決定性を越えて根本的に新しい計算資源を提供するかどうかを調査すること。
• 意思決定問題および量子アルゴリズムの文脈において、古典的および量子的非決定性の概念を比較すること。

提案手法

• 古典的プログラムと量子状態入力を備えたQRAM（量子ランダムアクセスマシン）モデルを用いて、量子計算を形式化すること。
• ヒルベルト球上の一様分布を用いて量子の確率性を分析し、その密度行列がn個の古典的コイン投げの結果と区別できないことを示すこと。
• 同一の確率的量子状態への繰り返しアクセスをオракルを介して扱い、ブロック対角密度行列を持つk重テンソル積構造を導出すること。
• 目標量子状態を初期状態から準備するために必要な最小リソース（プログラム長、時間、操作数）を定義し、量子状態複雑性を定式化すること。
• 非決定的入力yを古典的ビット列ではなく量子状態にすることにより、完全な量子非決定性を導入すること。
• そのモデルのシミュレーションにかかる計算コストを評価し、状態空間全体の全探索には指数時間が必要であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト球上の一様分布で定義される量子の確率的ソース（すなわち、一様にランダムな量子状態へのアクセス）は、古典的確率性を上回る計算パワーを提供するか？
• RQ2 任意の量子状態を準備する難易度を、量子状態複雑性という概念として形式化できるか？また、これは古典的コルモゴロフ複雑性とどのように異なるか？
• RQ3 非決定的選択が古典的文字列ではなく量子状態であるという、古典的非決定性の意味のある量子計算への拡張は可能か？
• RQ4 量子アルゴリズムにおける測定誘発非決定性は、プログラム内の古典的選択によってシミュレート可能か？それとも、根本的に新しい資源を表すか？
• RQ5 完全な量子非決定性を実装する計算コストは何か？また、多項式時間複雑性クラス内で実行可能か？

主な発見

• ヒルベルト球上の一様分布で定義される標準的な量子確率的ソースは、統計的効果がn個の古典的コイン投げと区別できないため、計算パワーを向上させない。
• 一様にランダムなnキュービット状態の密度行列は単位行列に比例し、n個の古典的公平コイン投げの結果と一致する。
• ヒルベルト空間の体積が二重指数的であるため、nキュービット状態の大多数は、局所的ユニタリ操作を指数的に多く用いることでしか近似できない。
• 非決定的入力が量子状態である「完全な量子非決定性」は、状態空間全体の全探索によるシミュレーションに指数時間が必要であり、主に指数時間複雑性クラスに関連する。
• 完全な量子非決定性という概念は、古典的選択によるシミュレーションに大幅なリソースオーバーヘッドを伴う場合を除き、本質的に新しい非決定性の源を表している可能性がある。
• 測定誘発非決定性は、プログラム内の古典的非決定性によってシミュレートできない可能性があり、量子的選択と古典的選択の間で計算パワーに根本的な違いがあることを示唆している。