[論文レビュー] Quantum restoration of broken symmetries

V. V. Belokurov, E. T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形的かつ非局所的な変換が、対称性の自発的破れを示す自己相互作用型量子場理論を、自由場理論へ写像することを示している。関数積分の等価性は保たれる。古典的には対称性が破れているが、特異関数空間への統合により、量子理論の古典的極限では元の対称性が回復する。これは、経路積分構造と伊藤カルキュラス補正を通じた量子的対称性回復のメカニズムを示している。

ABSTRACT

A certain non-linear non-local substitution is shown to transform the action of the self-interacting quantum field to the free one. The functional integrals in both theories are equal to each other. However, the integrations are performed over different functional spaces. The classical action and the classical limit of the corresponding quantum theory turn out to be different. And the symmetry originally broken in the classical theory is restored in the classical limit of the quantum theory.

研究の動機と目的

• 非線形的かつ非局所的な場再定義が、相互作用型量子場理論を自由理論に変換し、関数積分の等価性を保つことを示すこと。
• 量子理論の古典的極限が、古典的作用で破れた対称性を回復することを示すこと。
• 特異関数空間（X）が、相互作用場の有効な量子測度を定義する役割を明らかにすること。
• 伊藤確率積分と量子場理論における対称性回復との関連を確立すること。
• 従来の対称性破れの理解に挑戦し、古典的解に存在しない対称性が、量子力学的ダイナミクスによって回復され得ることを示すこと。

提案手法

• 非局所的場再定義を導入：$\chi(t) = \varphi(t) + a\int_{-T}^{t}(\varphi^2(\tau) - \beta^2)d\tau$ により、相互作用理論を自由理論に写像する。
• 伊藤微積分を用いて、作用における境界項および線形項を $\int \varphi^2 d\varphi = \frac{1}{3}(\varphi^3(T) - \varphi^3(-T)) - \int \varphi dt$ の形に書き直し、関数積分の正確な等価性を実現する。
• 特異空間 $X^+$（関数に $ (t - t_i^*)^{-1} $ 型の特異性を含むもの）における関数積分が、連続関数空間 $C[-T,T]$ における自由理論の関数積分と同一の結果をもたらすことを示す。
• 量子理論の古典的極限 $\hbar \to 0$ において $\ddot{\chi} = 0$ が得られ、$\dot{\chi} = \text{const} = 0$ となる。これは、相互作用系における $\dot{\varphi} + a(\varphi^2 - \beta^2) = 0$ に相当する。
• 古典的極限解 $\tilde{\varphi}^+(t)$ は、特異な積分領域のおかげで、対称性を持つオイラー＝ラグランジュ方程式（7）の解であり、破れた対称性を持つ方程式（9）の解ではない。
• 線形項の符号を反転させた鏡像系 $A_-$ を構築し、$X^-$ を得る。これにより $\tilde{\varphi}^-(t)$ を通じて対称性の回復が確認され、量子理論における完全な対称性回復が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的場再定義により、自己相互作用型量子場理論を自由理論に変換しつつ、関数積分の等価性を保てるか？
• RQ2 対称性が破れている作用を持つ量子理論の古典的極限が、なぜ元の対称性を回復するのか？
• RQ3 伊藤確率積分は、量子場理論における対称性回復にどのように寄与するか？
• RQ4 相互作用理論における量子測度が定義される関数空間の構造は何か？
• RQ5 量子力学は、古典的作用で破れた対称性を本質的に回復するのか？ もしそうなら、そのメカニズムは何か？

主な発見

• 非局所的変換を介して、特異空間 $X^+$ 上での相互作用型 $\phi^4$ 理論の関数積分は、$C[-T,T]$ 上での自由場理論の関数積分と正確に等しい。
• 量子理論の古典的極限では $\dot{\chi}(t) = 0$ が得られ、$\chi(t)$ が定数であることを示唆する。これは、相互作用系における $\dot{\varphi}(t) + a(\varphi^2(t) - \beta^2) = 0$ に相当する。
• 解 $\tilde{\varphi}^+(t) = \beta \tanh(bt + c)$ または $\beta \coth(bt + c)$ は、対称性を持つオイラー＝ラグランジュ方程式（7）を満たすが、破れた対称性を持つ方程式（9）を満たさない。これにより、対称性回復が証明される。
• 測度 $Z^{-1} \exp\left\{-\frac{1}{2}\int (\dot{\varphi})^2 dt - \frac{1}{2}\int \varphi^4 dt - \frac{1}{3}(\varphi^3(T) - \varphi^3(-T)) + \int \varphi dt \right\} d\varphi$ は $X^+$ 上で適切に定義されるが、標準的なガウス測度は $C$ 上で発散するため定義されない。
• $X^+$ には、孤立した $ (t - t_i^*)^{-1} $ 特異性を持つ関数が含まれており、摂動展開における発散のため、測度は連続関数空間 $C$ 上では定義されない。
• 線形項の符号を反転させた鏡像理論 $A_-$ により $X^-$ が得られ、$\tilde{\varphi}^-(t)$ を通じて対称性の回復が確認される。これにより、対称解の両方の分岐が量子経路積分で回復されていることが確認される。