[論文レビュー] Quantum Schur Sampling is Classically Tractable

Vojtěch Havlíček, Sergii Strelchuk|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、非古典的行動を示すものだと以前考えられていた量子シュールサンプリングというクラスの量子回路が、古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能であることを示している。対称群の表現論と、既約表現行列を効率的に計算するアルゴリズムを活用することで、著者らは多項式の加法的誤差内で出力分布を近似する古典的アルゴリズムを提示した。これは、このモデルにおける量子優位性に関する従来の予想に挑戦するものである。

ABSTRACT

Permutational Quantum Computing (Jordan, 2009) is a natural quantum computational model that was conjectured to capture non-classical aspects of quantum computation. Contrary to the previous conjecture, we find a classical algorithm that efficiently approximates output distributions of the model up to polynomially small additive precision. We extend this algorithm to show that a large class of important quantum circuits - the Quantum Schur Sampling circuits - can be also efficiently simulated classically. The algorithm can be used to efficiently estimate non-trivial elements of irreducible representation matrices of the symmetric group on $n$ elements and might be also used to approximate transition amplitudes of the Ponzano-Regge model.

研究の動機と目的

• 量子シュールサンプリング回路、すなわち非古典的量子行動を示すものだと予想されていた量子回路のクラスが、古典的に効率的にシミュレート可能かどうかを調査すること。
• 置換量子計算および関連回路の出力分布を多項式の加法的誤差で近似する古典的アルゴリズムを開発すること。
• n要素の対称群の既約表現の非自明な行列要素を効率的に計算可能にするもの。
• トポロジカル量子場理論（例えばポンツァノ＝レグレ・モデル）における量子振幅の古典的シミュレーションの可能性を検討すること。

提案手法

• アルゴリズムは、対称群の表現論を用いて、既約表現の行列要素を効率的に計算する。
• ゲルファンド＝ツェトリン基底と関連する分岐則を活用し、表現を分解して行列要素を再帰的に計算する。
• 量子シュールサンプリング回路の遷移振幅は、表現行列の内積として表現され、これにより計算可能である。
• 多項式時間の古典的サンプリングは、これらの行列要素を多項式的に小さい加法的誤差で近似することで達成される。
• この手法は、シュール状態とスピンネットワークの対応関係を介して、ポンツァノ＝レグレ・モデルにおける振幅推定へと拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非古典的量子行動を捉えるものだと予想されていた量子シュールサンプリング回路が、古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能かどうか。
• RQ2 置換量子計算回路の出力分布を多項式の加法的精度で近似する際の計算複雑性は何か。
• RQ3 古典的アルゴリズムが、n要素の対称群の既約表現の非自明な行列要素を効率的に計算可能かどうか。
• RQ4 古典的手法は、ポンツァノ＝レグレ・トポロジカル量子場理論における遷移振幅をどの程度まで近似可能か。

主な発見

• 多項式の加法的誤差内で、量子シュールサンプリング回路の出力分布を効率的に近似する古典的アルゴリズムが開発された。
• このアルゴリズムにより、n要素の対称群の既約表現の非自明な行列要素を効率的に計算可能となった。
• 置換量子計算回路のシミュレーションが古典的に扱えることが示され、それらに量子優位性があるという従来の予想に反する結果となった。
• この手法により、表現論的技術を用いてポンツァノ＝レグレ・モデルにおける遷移振幅の古典的近似スキームが提供された。