[論文レビュー] Quantum search algorithm by adiabatic evolution under a priori probability

Zhaohui Wei, Mingsheng Ying|ArXiv.org|Dec 15, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、解の確率に関する事前知識を活用して実行時間を短縮する断熱的量子探索アルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、初期重ね合わせ状態における解状態の振幅のみが進化時間に影響することを示している。さらに、初期および最終のハミルトニアンをある係数でスケーリングすることで、データベースサイズに依存しない定数時間の探索が可能になることが示され、これは標準的なグローバーのアルゴリズムには見られない特徴である。

ABSTRACT

Grover's algorithm is one of the most important quantum algorithms, which performs the task of searching an unsorted database without a priori probability. Recently the adiabatic evolution has been used to design and reproduce quantum algorithms, including Grover's algorithm. In this paper, we show that quantum search algorithm by adiabatic evolution has two properties that conventional quantum search algorithm doesn't have. Firstly, we show that in the initial state of the algorithm only the amplitude of the basis state corresponding to the solution affects the running time of the algorithm, while other amplitudes do not. Using this property, if we know a priori probability about the location of the solution before search, we can modify the adiabatic evolution to make the algorithm faster. Secondly, we show that by a factor for the initial and finial Hamiltonians we can reduce the running time of the algorithm arbitrarily. Especially, we can reduce the running time of adiabatic search algorithm to a constant time independent of the size of the database. The second property can be extended to other adiabatic algorithms.

研究の動機と目的

• 事前知識としての解の確率を用いて、断熱的量子探索の実行速度を向上させられるかを調査すること。
• ハミルトニアンのスケーリングによって、断熱的量子探索の実行時間が任意に制御可能かどうかを分析すること。
• 事前確率情報の有無に応じた断熱的探索の性能を比較すること。
• 断熱的遷移が、標準的なゲートモデル量子アルゴリズムでは実現できない実行時間の制御を可能にすることを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは時間に依存するハミルトニアン H(t) = (1-s)H₀ + sHₘ を用いた断熱的遷移を利用する。ここで s(t) は 0 から 1 に増加する。
• 初期ハミルトニアン H₀ = I - |ψ₀⟩⟨ψ₀| は一様重ね合わせを準備する。一方、Hₘ = I - |m⟩⟨m| は解状態をマークする。
• 実行時間 T は、最小エネルギー間隔 g_min と最大変化率 D_max を含む断熱条件を用いて推定される。
• 理論的解析により、初期状態における解の振幅が aₘ であるとき、T ≈ (1/aₘ) × (π/(2ε)) となることが示され、実行時間に影響するのは解の振幅のみであることが証明される。
• 部分集合 A_M に含まれるマークされたアイテムの事前確率 p_M に対して、実行時間は T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε)) となる。ここで n_M は部分集合のサイズである。
• H₀ および Hₘ を係数 c > 0 でスケーリングすることで、実行時間は T₂ = T₁ / c とスケーリングされ、c = √N のとき定数時間の探索が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前確率の知識を用いて、断熱的量子探索の実行時間を短縮できるか？
• RQ2 初期重ね合わせ状態における解状態の振幅が、断熱的遷移時間に一意に決定づけるか？
• RQ3 ハミルトニアンのスケーリングによって、断熱的量子探索の実行時間を任意に短縮できるか？
• RQ4 断熱的アルゴリズムの実行時間スケーリング特性は、グローバーのような標準的なゲートモデル量子アルゴリズムには存在しないか？

主な発見

• 事前確率が分かっている場合、断熱的探索の実行時間は T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε)) となり、p_M が大きい場合には標準的な O(√N) の実行時間よりも速くなる。
• すべての解の位置に関する平均実行時間は T_mean ≤ (π/(2ε)) × √N で抑えられ、等号はすべての部分集合が比例的な事前確率を持つ場合にのみ成り立つ。
• 初期および最終のハミルトニアンを係数 c でスケーリングすると、実行時間も同様に c 分だけ短縮され、T₂ = T₁ / c となる。
• ハミルトニアンを √N に比例してスケーリングすることで、実行時間は T ≈ π/(2ε) という定数に短縮され、データベースサイズ N に依存しない。
• 断熱的アルゴリズムがハミルトニアンのスケーリングによって実行時間を調整できるという特徴は、標準的なグローバーのアルゴリズムには存在しない。
• 解析により、断熱的遷移は、事前確率を伴う複雑な初期状態を効率的に処理できることを示しており、グローバーのアルゴリズムではこのような解析が困難である。