[論文レビュー] Quantum search for multiple items using parallel queries

Lov K. Grover, Jaikumar Radhakrishnan|ArXiv.org|Jul 27, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、d個の並列コピーを用いたデータベースで複数のアイテムを検索するための量子アルゴリズムを提示し、近似的に最適なクエリ複雑度を達成する。下界 Ω(√(Nk/(d·min{d,k}))) を確立し、対数要因を除いてこれに一致するアルゴリズムを設計した。これは、グローバーの検索とハイリガーマンの複数アイテム検索を並列クエリモデルに一般化するものである。

ABSTRACT

In the quantum database search problem we are required to search for an item in a database. In this paper, we consider a generalization of this problem, where we are provided d identical copes of a database each with N items which we can query in parallel. Then, given k items, we are required to determine the locations where these items are stored. We show that any quantum algorithm for this task must perform Omega(sqrt{Nk/d min{d,k}}) parallel queries. We also design an algorithm whose performance comes within a factor O(log d) of this lower bound.

研究の動機と目的

• 複数のデータベースコピーが利用可能である場合の、複数アイテム検索における量子検索アルゴリズムのギャップを埋めること。
• グローバーの単一アイテム検索とハイリガーマンの複数アイテム検索を、d個の同一データベースへの並列アクセスの状況に一般化すること。
• サイズNのd個の並列データベースからk個の異なるアイテムを特定するのに必要な並列クエリ数のタイトな下界と上界を確立すること。
• 理論的下界に対数要因内で収まる実用的な量子アルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 元のデータベース関数fのテンソル積F = f^⊗dとして構成される、より大きな1つのデータベースにおけるk個のアイテムの検索問題に再定式化する。
• 量子アドバーセリー法を用いて、データベースの変化に対する検索問題の感度を分析することで、並列クエリ数の下界を導出する。
• N個のアドレスをd個の互いに素な集合（各集合のサイズはN/d）に分割する確率的ロードバランシング戦略を設計し、それぞれの集合を別々のデータベースコピーに割り当てる。
• ボイヤー＝ブラッサード＝フイアー＝タップの量子検索アルゴリズムの変種を各データベースコピーに適用し、各コピーに最大t個のアイテムが存在すると仮定する。tは期待クエリコストを最小化するように選ぶ。
• 集中度の不等式を用いて、高確率でどのデータベースコピーにもt個を超えるアイテムが含まれないことを保証し、アルゴリズムが定数確率で成功することを確保する。
• 複数回アルゴリズムを繰り返すことで成功確率を増幅させ、結果として理論的下界に非常に近い全体のクエリ複雑度を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d個のNアイテムのデータベースの同一コピーからk個の異なるアイテムを検索するために、最小でどの程度の並列クエリが必要か？
• RQ2 並列量子検索モデルにおいて、最適なクエリ複雑度はN、k、dの各変数に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 この問題に対して、量子アルゴリズムが理論的下界に定数因子内で収まるクエリ複雑度を達成できるか？
• RQ4 kとdの相対的な大きさ、特にk ≤ √d、√d < k ≤ d lg d、またはk > d lg d の場合に、アルゴリズムの性能はどのように変化するか？
• RQ5 既存の量子検索アルゴリズム（例：グローバー、ボイヤー＝ブラッサード＝フイアー＝タップ）は、並列データベース設定にどの程度適応可能か？

主な発見

• この論文は、d個のNアイテムのデータベースのコピーからk個のアイテムを検索するために必要な並列クエリ数に対して、Ω(√(Nk/(d·min{d,k}))) の下界を確立した。
• 下界に対数要因内で一致する O(√(Nk lg d / (d·min{d,k}))) の並列クエリ数を達成するアルゴリズムを設計した。
• k ≤ √d の場合、アルゴリズムは O(√(N/d)) のクエリ数を達成し、定数因子の範囲で最適である。
• k > d lg d の場合、アルゴリズムは O(√(Nk)/d) のクエリ数を達成し、並列アクセスが逐次検索に比べて顕著な高速化を実現できることを示した。
• 解析により、すべてのパrameterの範囲において上界と下界の差が対数要因以内に収まることが示され、提案されたアルゴリズムがほぼ最適であることが裏付けられた。
• 結果として、グローバーの単一アイテム検索とハイリガーマンの複数アイテム検索が並列クエリモデルに一般化され、量子検索分野の主要な結果が統合された。