[論文レビュー] Quantum searching with continuous variables

Arun Kumar Pati, Samuel L. Braunstein+1 more|ArXiv.org|Feb 26, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 20

ひとこと要約

この論文では、qubit におけるグローバー算法に類似した、連続変数量子探索アルゴリズムを提示している。このアルゴリズムは、古典的探索に対して平方根の高速化を達成する。ハダマード変換および逆転操作を、フーリエ変換および一般化フーリエ変換（GFT）を用いて連続変数に一般化することで、電磁場モードなどのqunatを用いた無限次元ヒルベルト空間における効率的な探索が可能になる。

ABSTRACT

A fast quantum search algorithm for continuous variables is presented. The result is the quantum continuous variable analog of Grover's algorithm originally proposed for qubits. A continuous variable analog of the Hadamard (i.e., Fourier transform) operation is used in conjunction with inversion about the average of quantum states to allow the approximate identification of an unknown quantum state in a way that gives a square-root speed-up over search algorithms using classical continuous variables. Also, we show that this quantum search algorithm is robust for a generalised Fourier transformation on continuous variables.

研究の動機と目的

• 離散的 qubit から連続的量子変数（位置、運動量、場強度など）へのグローバーの量子探索アルゴリズムの拡張。
• qunat を基本情報単位として用いる連続変数量子コンピュータに適用可能な量子探索フレームワークの開発。
• 任意のフーリエ変換を用いた一般化においても、グローバー算法の平方根の高速化が維持されることの証明。
• 理想化された無限エネルギー固有状態ではなく、物理的に実現可能な強いピークを持つ状態を用いた場合の探索アルゴリズムのロバストネスの分析。

提案手法

• 連続変数（位置や運動量など）を表す基底状態 |x⟩ を用いた n 次元連続ヒルベルト空間で探索を定式化する。
• 一般化フーリエ変換（GFT）を導入し、角度 θ でパrameter化された、連続空間における基底変換の連続的アナログを実現する。
• 探索演算子 C^(θ) は、GFT、目的状態に関する反転、逆GFT の順序で構成され、ヒルベルト空間内での回転を形成する。
• 反転操作は、マークされたアイテムに対応する領域への射影を用い、連続基底におけるデルタ関数に類似した制約で定義される。
• Fubini-Study 距離を用いて、目的状態に到達するまでの反復回数を推定する。
• GFT の使用により、反復回数のスケーリングが O(√(π sin θ)^n) を維持でき、θ = π/2 の場合に N = (π sin θ)^n に対して O(√N) に簡略化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーの量子探索アルゴリズムは、無限次元ヒルベルト空間を持つ連続変数量子系へ一般化可能か？
• RQ2 離散的 qubit とハダマード変換の代わりに連続変数と一般化フーリエ変換を用いた場合、グローバー算法の平方根の高速化は維持されるか？
• RQ3 一般化フーリエ変換のパrameter θ の選択が、連続変数探索アルゴリズムの性能に与える影響は何か？
• RQ4 理想化された無限エネルギー位置固有状態ではなく、物理的に実現可能な有限エネルギー状態を用いた場合、アルゴリズムはロバストか？
• RQ5 電磁場強度などの連続変数を用いる場合、線形光学素子を用いた実装は可能か？

主な発見

• 連続変数量子探索アルゴリズムは、サイズ N = (π sin θ)^n のデータベース内でマークされたアイテムを発見するため、O(√(π sin θ)^n) 回の反復で平方根の高速化を達成する。
• 標準的なフーリエ変換（θ = π/2）の場合、元のグローバー探索のスケーリングに還元され、O(√N) ステップで実現される。
• 任意の一般化フーリエ変換（GFT）に対しても、探索アルゴリズムは有効であり、基底変換の選択に対してロバストであることが示された。
• Fubini-Study 距離の分析により、探索演算子の各適用が固定された角度ステップで状態を進めることが確認され、√N 回の反復で収束することが可能である。
• 理想化されたデルタ関数型位置固有状態ではなく、強いピークを持つ正規化可能な状態を用いても、アルゴリズムはロバストであり、物理的実現可能性が保証される。
• フレームワークは、線形および非線形光学素子による実装をサポートしており、qunat（連続変数量子ユニット）が探索プロセスにおける qubit の役割を果たす。