[論文レビュー] Quantum Simulation of Lindbladian Dynamics via Repeated Interactions

Matthew Pocrnic, Dvira Segal+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、繰り返し相互作用（RIs）を用いた Lindbladian 動的のための量子シミュレーションフレームワークを提案し、Lindblad マスター方程式とユニタリ RI 動的の間の厳密な誤差バインディングを確立した。反復的キュービット化と Trotter-Suzuki 方法を用いて、シミュレーションの複雑さの最適スケーリングを導出し、相互作用の数が $ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $ に比例することを示した。これにより、オープンな量子系の効率的かつ証明可能な正確なシミュレーションが可能になった。

ABSTRACT

The Lindblad equation generalizes the Schrödinger equation to quantum systems that undergo dissipative dynamics. The quantum simulation of Lindbladian dynamics is therefore non-unitary, preventing a naive application of state-of-the-art quantum algorithms. Here, we make use of an approximate correspondence between Lindbladian dynamics and evolution based on Repeated Interaction (RI) CPTP maps to write down a Hamiltonian formulation of the Lindblad dynamics and derive a rigorous error bound on the master equation. Specifically, we show that the number of interactions needed to simulate the Liouvillian $e^{t\mathcal{L}}$ within error $ε$ scales in a weak coupling limit as $ν\in O(t^2\|\mathcal{L}\|_{1 ightarrow 1}^2/ε)$. This is significant because the error in the Lindbladian approximation to the dynamics is not explicitly bounded in existing quantum algorithms for open system simulations. We then provide quantum algorithms to simulate RI maps using an iterative Qubitization approach and Trotter-Suzuki formulas and specifically show that for iterative Qubitization the number of operations needed to simulate the dynamics (for a fixed value of $ν$) scales in a weak coupling limit as $O(α_0 t + ν\log(1/ε)/\log\log(1/ε))$ where $α_0$ is the coefficient $1$-norm for the system and bath Hamiltonians. This scaling would appear to be optimal if the complexity of $ν$ is not considered, which underscores the importance of considering the error in the Liouvillian that we reveal in this work.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上で非ユニタリで散乱的な Lindbladian 動的をシミュレートする課題に取り組むこと。これは、標準的なユニタリ量子アルゴリズムには直接適用できない。
• 正確な Lindblad 動的と近似された反復的相互作用（RI）CPTP 写像の間の厳密な誤差バインディングを確立し、近似を制御可能にする。
• 反復的キュービット化と Trotter-Suzuki 分解を用いて RI 写像をシミュレートする量子アルゴリズムを開発し、漸近的に最適なゲート複雑さを達成する。
• Lindblad-RI 対応における近似誤差とシミュレーション誤差のトレードオフを明確にし、高次の RI 写像が総誤差を必ずしも低減しないことを強調する。
• ユニタリな手法を用いてオープンな量子系を効率的にシミュレートできるフレームワークを提供し、散乱過程の実用的量子シミュレーションを前進させる。

提案手法

• 系が独立した環境量子系と逐次的に相互作用する反復的相互作用（RI）CPTP 写像と Lindbladian 動的の近似的対応を活用する。
• 補助キュービットを用いて RI プロセスをより大きなユニタリな進化に埋め込むことで、Lindbladian 動的のハミルトニアン形式を導出し、標準的な量子シミュレーション技術を可能にする。
• 真の Liouvillian 動的 $ e^{t\mathcal{L}} $ と RI によって生成される動的の間の厳密な誤差バインディングを確立し、誤差が $ O(\nu^{-1}) $ に比例することを示した。ここで $ \nu $ は相互作用の回数である。
• 反復的キュービット化と Trotter-Suzuki 分解を用いて RI 写像をシミュレートし、複雑さが $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $ に比例することを示した。
• コンmutator 構造とパーティショニング戦略を用いてシミュレーション効率を向上させることを試みたが、有利なパーティショニングの存在は未解決の問題のままである。
• トレースアウト操作をシミュレーション全体を通して延期することで、ユニタリ性を維持し、補助キュービットのオーバーヘッドを最小限に抑え、効率的な実装を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ユニタリな Lindbladian 動的を、ユニタリな進化手法を用いて量子コンピュータ上でどのように効率的にシミュレートできるか。
• RQ2 正確な Lindbladian 動的と反復的相互作用（RI）近似との間の定量的誤差は何か。また、その誤差はどのようにバインディングできるか。
• RQ3 反復的キュービット化と Trotter-Suzuki 方法を用いて、RI 写像を最適または近似的に最適なゲート複雑さでシミュレートできるか。
• RQ4 RI 写像の次数を上げることで総シミュレーション誤差が常に減少するのか。それとも、近似誤差とシミュレーション誤差のトレードオフがあるのか。
• RQ5 Lindblad-RI 対応の誤差と量子アルゴリズム実装の誤差がどのように相互作用するか。アルゴリズム設計にどのような影響を及えるか。

主な発見

• Liouvillian $ e^{t\mathcal{L}} $ を誤差 $ \epsilon $ 以内でシミュレートするために必要な反復的相互作用の数 $ \nu $ は、$ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $ に比例する。これは近似誤差に対する厳密なバインディングを提供する。
• 反復的キュービット化において、合計の演算数は $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $ に比例する。$ \nu $ を定数とみなした場合、これは漸近的に最適である。
• RI 近似の誤差は相互作用時間に関して2次であるため、2次以上に高次の積分器を用いても物理的精度が2次以上に向上しない可能性がある。
• フレームワークにより、補助キュービットの必要数を最小限に抑えつつ、トレースアウトを延期することでユニタリな進化によるオープンな量子系の効率的シミュレーションが可能になった。
• 本研究は、現在のオープン系シミュレーションにおける重要な問題を明らかにした。Lindblad マスター方程式自体が近似であるため、アルゴリズム誤差と併せてその誤差をバインディングする必要がある。これにより、シミュレーション手法の公平な比較が可能になる。
• 誤差低減のリターンが減少するため、RI 写像の1次および2次までのシミュレーションを実行する方が、高次の実装よりも効率的である可能性がある。