[論文レビュー] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation

Shi Jin, Nana Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2022

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、歪みのある位相変換を用いて、線形偏微分方程式（PDE）を時間に依存するシュレーディンガー方程式系に変換することで、量子シミュレーションによる任意の線形PDEのシミュレーションを可能にする新規手法「シュレーディンガー化（Schrödingerisation）」を提案する。この手法により、古典的および量子的ダイナミクス（基底状態、ギブス状態、ランダム媒体内での系など）の効率的量子シミュレーションが可能となり、虚数時間や複雑なブロック符号化を必要としない、明示的なリソースバウンドが保証される。

ABSTRACT

We present a simple new way - called Schrodingerisation - to simulate general linear partial differential equations via quantum simulation. Using a simple new transform, referred to as the warped phase transformation, any linear partial differential equation can be recast into a system of Schrodinger's equations - in real time - in a straightforward way. This can be seen directly on the level of the dynamical equations without more sophisticated methods. This approach is not only applicable to PDEs for classical problems but also those for quantum problems - like the preparation of quantum ground states, Gibbs states and the simulation of quantum states in random media in the semiclassical limit.

研究の動機と目的

• 量子デバイスがユニタリなシュレーディンガー力学に自然に適していることを利用し、熱方程式や放射輸送方程式などの古典的線形PDEをシミュレートする課題に取り組む。
• 非自明な状態準備やトモグラフィー、複雑な多項式近似を要する、虚数時間発展やキュービット化（qubitisation）などの既存手法の制限を克服する。
• 任意の線形PDEを実時間におけるユニタリなシュレーディンガー力学にマッピングする、一般的で概念的に単純かつリソース効率の良いフレームワークを構築する。
• 基底状態やギブス状態の準備、ランダム媒体内での半古典的ダイナミクスなどの量子問題の量子シミュレーションを可能にする。
• 時間離散化を回避し、ユニタリ発展によって解の時間発展の連続性を保つ統一的アプローチを提供する。

提案手法

• 任意の線形PDEを実時間発展を伴うシュレーディンガー方程式系に再定式化するためのキーテクニックとして、歪みのある位相変換を提案する。
• 熱方程式にこの変換を適用し、補助変数におけるフーリエ変換を経て、変換後は独立したシュレーディンガー方程式の集合に帰着することを示す。
• 微分作用素をエルミート部と反エルミート部に分解することで、任意の線形PDEへ一般化し、拡張されたヒルベルト空間におけるユニタリ発展としてダイナミクスを表現可能にする。
• 補助変数 $p$ におけるフーリエ変換を用いて、変換されたPDEを周波数 $η$ でパrameter化されたシュレーディンガー方程式系に変換し、エルミートハミルトニアン $\eta\mathbf{H} + \mathbf{\bar{H}}$ を得る。
• 周波数変数 $\eta$ を離散化することで、有限次元のハミルトニアン $\mathbf{H}_{\text{total}} = \mathbf{H} \otimes \mathbf{D} + \mathbf{\bar{H}} \otimes \mathbf{1}$ を構築し、標準的なユニタリ発展による量子シミュレーションを可能にする。
• ハミルトニアンと初期状態のスパースアクセスを活用し、エルミート部 $\mathbf{H}$ が半正定値であると仮定することで、安定性と効率性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚数時間や時間離散化に依存せずに、古典的線形PDEを実時間におけるユニタリなシュレーディンガー力学に体系的にマッピングする方法は何か？
• RQ2 任意の線形PDEを量子シミュレーションフレームワークに埋め込むために必要な最小限の変換は何か？ その変換により、時間発展の連続性が保たれるか？
• RQ3 シュレーディンガー化手法は、基底状態、ギブス状態、ランダム媒体内での輸送を記述するPDEを含め、古典的および量子的PDEへ一般化可能か？
• RQ4 シュレーディンガー化フレームワークにおいて、問題サイズや時間発展に伴う量子リソースコスト（クエリ複雑度、ゲート数など）のスケーリングはどのようになるか？
• RQ5 qubitisation や虚数時間発展などの既存手法と比較して、本手法の単純さ、リソース効率、状態準備の利点は何か？

主な発見

• 歪みのある位相変換により、非ユニタリダイナミクスや複雑な多項式近似を必要とせず、任意の線形PDEを直接的かつ実時間的にシュレーディンガー方程式系にマッピング可能である。
• 熱方程式に対しては、補助変数におけるフーリエ変換により、変換後は独立したシュレーディンガー方程式の集合に帰着する。これは虚数時間発展の概念的代替となる。
• 微分作用素をエルミート部と反エルミート部に分解することで、任意の線形PDEへ一般化可能であり、得られるダイナミクスはユニタリであり、量子コンピュータ上でシミュレート可能である。
• 変換された系の量子シミュレーションでは、クエリ複雑度が $\tilde{\mathcal{O}}\left(\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\|\right) s t \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$ に抑えられ、ここで $s$ はハミルトニアン成分のスパarsityを表す。
• 追加の制御-制御ゲート数（2キュービットゲート）は $\tilde{\mathcal{O}}\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\| d t s \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$ に抑えられ、スパース系において効率的なリソーススケーリングを示している。
• 本手法により、基底状態やギブス状態といった量子状態の直接的シミュレーションが可能であり、状態拡張を用いることで非同次PDEや境界値問題への応用も可能となる。