[論文レビュー] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation: technical details

Shi Jin, Nana Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、一般の線形偏微分方程式（PDE）を歪みのある位相変換を介してハミルトニアン系に変換する、新しい量子シミュレーションフレームワーク「シュレーディンガー化（Schrödingerisation）」を導入する。PDEをヒルベルト空間内のユニタリな時間発展に埋め込むことで、標準的な量子アルゴリズムを用いて効率的な量子シミュレーションが可能となり、熱伝導、対流、フォッカー・プランク、ボルツマン、ブラック・ショールズ、およびブレイゾフ・フォッカー・プランク方程式への応用が可能である。

ABSTRACT

We study a new method - called Schrodingerisation introduced in [Jin, Liu, Yu, arXiv: 2212.13969] - for solving general linear partial differential equations with quantum simulation. This method converts linear partial differential equations into a `Schrodingerised' or Hamiltonian system, using a new and simple transformation called the warped phase transformation. Here we provide more in-depth technical discussions and expand on this approach in a more detailed and pedagogical way. We apply this to more examples of partial differential equations, including heat, convection, Fokker-Planck, linear Boltzmann and Black-Scholes equations. This approach can also be extended to Schrodingerise general linear partial differential equations, including the Vlasov-Fokker-Planck equation and the Liouville representation equation for nonlinear ordinary differential equations.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムを用いて線形偏微分方程式（PDE）を解くための汎用的量子シミュレーション手法の開発。
• 空間的離散化により線形PDEが通常はハミルトニアン系とならず、虚数係数や非対称行列が生じるという課題の解決。
• 変数係数、源項、境界条件（非同次ディリクレ条件を含む）を有するPDEへの量子シミュレーションの拡張。
• 広範なPDEおよびODEに適用可能な体系的かつ教育的な技術的フレームワークを提供すること。
• 非ユニタリまたは非エルミートなODE系をユニタリ時間発展フレームワークに変換することで、時間積分型ハミルトニアンシミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 歪んだ位相変換を導入——一次元の補助変数変換であり、線形PDEをハミルトニアン構造を持つシュレーディンガー化形式に変換する。
• 熱方程式、対流方程式、フォッカー・プランク方程式、線形ボルツマン方程式などのPDEを、同等のシュレーディンガー型系に再定式化する。
• フーリエスペクトル離散化を用いてPDEを半離散化されたODE系に変換し、その後歪んだ位相変換を適用してユニタリ性を確保し、量子ハミルトニアンシミュレーションで扱えるようにする。
• 離散化によって生じる非対称係数行列に対しては、生成子を $-iA = H_1 + iH_2$ と分解し、エルミート行列 $H_1, H_2$ を用いてユニタリ発展を回復するより大きなエルミートハミルトニアンを構築する。
• PDEの空間的離散化から得られる一般の線形ODE系に対して、ブロック符号化およびパリティ拡張によるユニタリ化技術を適用する。
• 源項や境界条件が非同次のODE系を扱うための拡張技術を提案——ハミルトニアン構造を保ちつつユニタリ性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の線形PDEを、量子シミュレーションに適したハミルトニアン系に体系的かつ一貫して変換できるか？
• RQ2 変数係数を有するPDE（例：ブレイゾフ・フォッカー・プランク方程式）に歪んだ位相変換をどのように適用できるか？
• RQ3 シュレーディンガー化法を源項や非同次境界条件を有するPDEへ拡張可能か？
• RQ4 ブラック・ショールズ方程式や線形ボルツマン方程式のようなPDEをこの手法でシミュレートする際の計算コストと実行可能性は？
• RQ5 時間複雑度とユニタリ構造の観点から、既存の量子ODEソルバーおよび量子差分法と比較して本手法はどのように差をつけるか？

主な発見

• シュレーディンガー化法により、熱方程式、対流方程式、フォッカー・プランク方程式、線形ボルツマン方程式、ブラック・ショールズ方程式が歪んだ位相変換を介してユニタリなハミルトニアン系に変換された。
• 非線形ODEのリウヴィル表現において、位相空間における線形PDEとしてのダイナミクスに再定式化することで、量子シミュレーションが可能になる。
• 一般化されたフレームワークを用いることで、ブレイゾフ・フォッカー・プランク方程式はシュレーディンガー化可能であるが、変数係数の場合には歪んだ位相変換のみでは十分でない場合がある。
• 源項や非同次境界条件を有するPDEの量子シミュレーションは、ユニタリ性を保つ簡単な拡張技術により可能となり、ハミルトニアン構造を維持する。
• 得られるハミルトニアン系は、標準的な量子アルゴリズムを用いて時間積分型シミュレーションが可能であり、非ユニタリ手続きによる指数的コスト増を回避できる。
• 一次元補助変数によって導入されるわずかなオーバーヘッドに留め、量子線形代数プリミティブを活用することで指数的高速化の可能性を達成する。