[論文レビュー] Quantum Simulation of Phylogenetic Trees

Demosthenes Ellinas, Peter Jarvis|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Genomics and Phylogenetic Studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子ウォークと正のトレース保存写像を用いて進化過程と統計的推論をモデル化することで、系統樹のための量子シミュレーションフレームワークを提案する。系統樹の尤度計算と尤度演算子観測量の量子測定との間の対応関係を確立し、状態-観測量双対性とデコherence量子回路を用いて、量子強化型の最尤推定を実現する。

ABSTRACT

Quantum simulations constructing probability tensors of biological multi-taxa in phylogenetic trees are proposed, in terms of positive trace preserving maps, describing evolving systems of quantum walks with multiple walkers. Basic phylogenetic models applying on trees of various topologies are simulated following appropriate decoherent quantum circuits. Quantum simulations of statistical inference for aligned sequences of biological characters are provided in terms of a quantum pruning map operating on likelihood operator observables, utilizing state-observable duality and measurement theory.

研究の動機と目的

• 系統樹における多分岐種進化過程をシミュレートするための量子情報理論的フレームワークの構築。
• ユニタリ操作とデコherenceを用いて、群ベース型およびFelsenstein型の古典的系統的モデルを量子回路へ写像すること。
• 量子 pruning マップと尤度演算子観測量を用いて、アラインメント済み生物学的配列の統計的推定をシミュレートすること。
• 最尤系統樹推定に用いられる反復的 pruning アルゴリズムの量子力学的アナログを確立すること。
• トレースの循環的性質とユニタリ拡張を活用することで、量子状態と観測量の双対性を活用し、量子回路による木の尤度計算を可能にすること。

提案手法

• 系統的進化を、$s$ 個の種に作用する局所的ユニタリ操作 $U = \bigotimes_{i=1}^{s} U_i$ と、対角密度行列への射影をもたらすデコherence写像 ${\rm \bf E}_d^{\bigotimes s}$ でモデル化する。
• 制御NOTゲート $U_{cn}$ をテンソル積構造に適用して系統樹のトポロジーを構築し、随伴作用 $\Delta\rho = U_{cn}(\rho \otimes \widehat{P}_0)U_{cn}^\dagger$ を通じて分岐（クラドジェネシス）を実現する。
• 部位特異的尤度を量子演算子 $\widehat{L}_{tr}^{(l)}$ として表現し、末端のチェリーの尤度演算子に対して再帰的に量子 pruning マップ $\mu$ を適用することで得る。
• 双対写像形式を採用：$L^{(l)} = \nu_f^{-1} \operatorname{Tr}(\widehat{L}^{C_f} {\mathcal{E}}_{B_f}^*(\rho^\pi))$ で、$\mathcal{E}^*$ は定常状態 $\rho^\pi$ に作用する確率的写像の双対。
• 全アラインメントへの尤度計算を、テンソル積 $\otimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)}$ と集合的写像 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ を用いて拡張し、ユニタリ拡張によって実現可能である。
• 状態-観測量双対性とトレースの循環的性質を活用して、観測量のハイゼンベルク的時間発展を、状態のシュレディンガー的時間発展に変換し、計算的同等性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ウォークとユニタリ発展は、古典的系統的モデルの背後にある確率的過程をシミュレートできるか？
• RQ2 最尤系統樹推定に用いられる反復的 pruning プロセスを、量子測定操作へどのように写像できるか？
• RQ3 系統樹における尤度演算子の量子力学的アナログは何か、そしてどのように測定できるか？
• RQ4 量子状態と観測量の双対性を活用して、量子回路によるアラインメント尤度の計算が可能か？
• RQ5 デコherenceとトレース保存写像を用いて、群ベース型およびFelsenstein型系統的モデルにおける遷移確率をどのようにモデル化できるか？

主な発見

• 群ベース型系統的モデルは、ユニタリ発展とデコherenceを介して量子ウォークに写像され、マーカフ行列はユニタリ行列のハダマード積から導出される。
• Felsensteinモデルは、測定後の状態写像として実現され、pruning マップ $\mu$ は尤度演算子に作用する確率的写像 $\mathcal{E}_B$ として表現される。
• 1部位の尤度は $L^{(l)} = \left\langle \widehat{L}_{tr}^{(l)}, \rho^\pi \right\rangle = \operatorname{Tr}(\widehat{L}_{tr}^{(l)} \rho^\pi)$ として計算され、ここで $\rho^\pi$ は定常状態である。
• 全アラインメントについては、全対数尤度が $\log \operatorname{Tr}\left( \bigotimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)} \right) \rho_\Lambda$ で表され、$\rho_\Lambda = (\rho^\pi)^{\otimes \Lambda}$ である。
• 最終的な尤度計算は、定常密度行列 $\rho^\pi$ に作用する双対写像 $\mathcal{E}_{B_f}^*$ を通じてシュレディンガー的発展と同等となる。
• 集合的写像 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ はユニタリ拡張によって実現可能であり、これは尤度計算のハミルトニアンに基づく量子実装を示唆する。