[論文レビュー] Quantum simulations of one dimensional quantum systems

Rolando D. Somma|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 29被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、量子調和振動子（QHO）を含む1次元量子系のシミュレーションのための量子アルゴリズムを提示する。Lie代数構造を活用した高次のTrotter-Suzuki近似を精緻化することで、$ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $ の非指数的複雑性を達成し、古典的手法に対して超多項式の量子高速化を実現する。また、ガウス型の振幅を持つQHO固有状態を多項式時間で準備するアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We present quantum algorithms for the simulation of quantum systems in one spatial dimension, which result in quantum speedups that range from superpolynomial to polynomial. We first describe a method to simulate the evolution of the quantum harmonic oscillator (QHO) based on a refined analysis of the Trotter-Suzuki formula that exploits the Lie algebra structure. For total evolution time $t$ and precision $ε>0$, the complexity of our method is $ O(\exp(γ\sqrt{\log(N/ε)}))$, where $γ>0$ is a constant and $N$ is the quantum number associated with an "energy cutoff" of the initial state. Remarkably, this complexity is subpolynomial in $N/ε$. We also provide a method to prepare discrete versions of the eigenstates of the QHO of complexity polynomial in $\log(N)/ε$, where $N$ is the dimension or number of points in the discretization. This method may be of independent interest as it provides a way to prepare, e.g., quantum states with Gaussian-like amplitudes. Next, we consider a system with a quartic potential. Our numerical simulations suggest a method for simulating the evolution of sublinear complexity $ ilde O(N^{1/3+o(1)})$, for constant $t$ and $ε$. We also analyze complex one-dimensional systems and prove a complexity bound $ ilde O(N)$, under fairly general assumptions. Our quantum algorithms may find applications in other problems. As an example, we discuss the fractional Fourier transform, a generalization of the Fourier transform that is useful for signal analysis and can be formulated in terms of the evolution of the QHO.

研究の動機と目的

• 連続変数量子系、特に無限大ハミルトニアンを有する1次元量子系のシミュレーションのための効率的量子アルゴリズムを開発すること。
• エネルギーまたは系のサイズに多項式的にスケーリングする既存の量子シミュレーション手法の限界を克服すること。
• 量子調和振動子（QHO）のシミュレーション時間および精度に関して、非指数的複雑性を達成すること。これは、no-fast-forwarding定理に反するが、$ \mathfrak{sp}(2) $ 代数構造の利用によって可能となる。
• 四次元ポテンシャルや一般の1次元系を含むより複雑な系に対しても、広範な仮定の下で同様の技術を拡張すること。
• Jaynes-Cummingsモデルの量子シミュレーションを用いて、ガウス型振幅を持つQHO固有状態を効率的に準備するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿では、特に $ \mathfrak{sp}(2) $ 代数に由来するQHOのLie代数構造に適合した高次Trotter-Suzuki近似の精緻な解析を採用する。
• 交換子の性質を活用してTrotter-Suzuki分解の誤差を評価し、最悪ケース見積もりよりも著しく小さい誤差を達成する。
• 連続的なQHOを近似するため、次元 $ N $ の離散ヒルベルト空間（$ N $ はエネルギーカットオフに対応）を用いてシミュレーションを行う。
• 固有状態の準備には、離散化されたJaynes-Cummingsハミルトニアン下での時間発展を高次Trotter-Suzuki分解を用いてシミュレートする。
• 四次ポテンシャルのようなより複雑な系では、数値的証拠により、$ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $ の複雑性が得られ、進化時間と精度が一定であると仮定する。
• 一般の1次元系では、最近のテイラー級数に基づくシミュレーション技術を適用し、一般的な仮定の下で $ \tilde{O}(N) $ の複雑性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 no-fast-forwarding定理に反するが、エネルギースケール $ N $ に対して非指数的複雑性を達成できるか、QHOの量子シミュレーションは可能か？
• RQ2 QHOのLie代数構造を活用することで、最悪ケースの境界を超えてTrotter-Suzuki近似誤差を低減できるか？
• RQ3 同様のアプローチにより、$ \phi^4 $-型ハミルトニアンを有する四次ポテンシャル系に対しても多項式的量子高速化が得られるか？
• RQ4 シミュレーションベースの手法を用いて、ガウス型振幅を持つQHO固有状態を量子コンピュータ上で効率的に準備できるか？
• RQ5 一般条件下で、他の連続変数量子系に対しても $ \tilde{O}(N) $ の複雑性を達成できるフレームワークに一般化可能か？

主な発見

• QHOの時間発展演算のための量子アルゴリズムは、$ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $ の複雑性を達成し、これは $ \log(N) $ に対して非指数的であり、古典的手法に対して超多項式の高速化を示す。
• この複雑性は $ N/\epsilon $ に対して非多項式的であり、$ \mathfrak{sp}(2) $ Lie代数構造の利用によって、no-fast-forwarding定理を回避している。
• QHO固有状態の準備のためのアルゴリズムは、$ \log(N)/\epsilon $ に対して多項式的複雑性であり、得られる状態はガウス型の振幅分布を示す。
• 数値的シミュレーションにより、四次ポテンシャルのシミュレーションは $ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $ の複雑性を示し、古典的手法に対して多項式的量子高速化が得られると示唆される。
• 一般の1次元系では、テイラー級数に基づくシミュレーション技術を用いて、かなり一般的な仮定の下で $ \tilde{O}(N) $ の複雑性を達成する。
• これらの結果は、代数的構造が豊富な他の連続変数量子系に対しても、同様の非指数的アルゴリズムが可能である可能性を示唆する。