[論文レビュー] Quantum Singularities

D. A. Konkowski, T. M. Helliwell+1 more|ArXiv.org|Aug 12, 2004

Geophysics and Sensor Technology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホロウィッツとマロルフの基準を用いて、球対称および円柱対称時空における量子的特異点を調査している。その基準によれば、時空が量子力学的に特異でないのは、空間的クライン＝ゴルドン作用素が本質的に自己共役である場合である。主な発見は、古典的特異点の近傍で強い反発的ポテンシャルが存在すると、量子波束の浸透が抑制され、結果として時空が量子力学的に特異でなくなることである。これは、無限大の線質量および宇宙ひも時空において、反発的障壁のおかげで量子的特異点が消滅することによって示された。

ABSTRACT

The definitions of classical and quantum singularities in general relativity are reviewed. The occurence of quantum mechanical singularities in certain spherically symmetric and cylindrically symmetric (including infinite line mass)spacetimes is considered. A strong repulsive ``potential'' near the classical singularity is shown to turn a classically singular spacetime into a quantum mechanically nonsingular spacetime.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における古典的特異点が、波束による量子力学的測定によっても依然として特異のままであるかどうかを特定すること。
• ホロウィッツとマロルフの基準を適用し、空間的クライン＝ゴルドン作用素の本質的自己共役性に基づいて量子的非特異性を定義すること。
• 特異点近傍における時空ポテンシャルの強さと性質が量子的挙動に与える影響を調査すること。
• 特に無限大の線質量および宇宙ひも幾何学を含む特定の時空における量子的特異点の分類をすること。

提案手法

• ホロウィッツとマロルフの基準を用いる：時空が量子力学的に特異でないのは、クライン＝ゴルドン方程式の空間的作用素が本質的に自己共役である場合である。
• 特異点近傍での $ L^2 $-正規化可能な解の数を特定するために、方程式 $(\nabla^2 \pm i)\Phi = 0$ を用いる。
• 適切な変数変換を用いて、径方向クライン＝ゴルドン方程式をシュレーディンガー形式に変換し、有効ポテンシャルを分析する。
• 解の $ r=0 $ 近傍での振る舞いを解析し、$ L^2 $ 積分可能性を評価し、複数の解の存在を確認する。
• 時間的に特異な静的球対称および円柱対称時空に焦点を当てる。
• 変数分離とモード分解（例：$ e^{im\phi} $）を用い、偏微分方程式を解析のための径方向常微分方程式に簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称時空における古典的特異点が、どのような条件下で量子力学的に非特異となるか？
• RQ2 特異点近傍における有効ポテンシャルがクライン＝ゴルドン作用素の本質的自己共役性に与える影響は何か？
• RQ3 無限大の線質量時空は量子力学的に特異であるか？反発的ポテンシャルが特異点を遮蔽できるか？
• RQ4 量子粒子の種別（スカラー、スピノルなど）が、これらの時空における量子的特異点の有無に影響を与えるか？
• RQ5 ポテンシャルが十分に反発的であれば、特異点における境界条件を回避できるか？

主な発見

• 球対称時空で $ p < 3/2 $（$ p=1 $ を除く）の場合は、$ r=0 $ 近傍に複数の $ L^2 $ 解が存在するため、量子力学的に特異である。
• 球対称時空で $ p \geq 3/2 $ の場合は、有効ポテンシャルが反発的であれば、量子力学的に非特異である。
• 円柱対称時空で $ a + b < 3 $（ミンコフスキーを除く）の場合は、量子力学的に特異である。$ a + b \geq 3 $ の場合は非特異である。
• 無限大の線質量のレヴィ＝チビタ時空（$ 0 < \sigma < 1/2 $）は、量子力学的に特異であるが、ミンコフスキー極限（$ \sigma = 0, c=1 $）を除いてはそうである。
• 宇宙ひも時空（$ \sigma = 0, c \neq 1 $）は、任意のモードに対して一般に量子力学的に特異であるが、$ |m|c \geq 1 $ の場合、非特異になる。
• 古典的特異点に強い反発的ポテンシャルが存在すると、波束の浸透が抑制され、結果として時空が量子力学的に非特異になる。これは、準正則特異点に対しても同様に成り立つ。