[論文レビュー] Quantum Speedup for the Maximum Cut Problem

Weng-Long Chang, Renata Wong+4 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大カット問題のための新しい量子アルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、Groverの探索と独自の量子回路を組み合わせることで、カット内の辺数を数えることにより、古典的な正確なアルゴリズムよりも2乗の速度向上を達成する。アルゴリズムの実行時間は $ O(\tilde{2}^{n/2}/r) $ で、メモリ使用量は $ O(m^2) $ であり、IBMの量子シミュレータを用いた実験的検証により、3頂点グラフにおいて最大カットを確率1/2以上で正しく特定していることが示された。

ABSTRACT

Given an undirected, unweighted graph with $n$ vertices and $m$ edges, the maximum cut problem is to find a partition of the $n$ vertices into disjoint subsets $V_1$ and $V_2$ such that the number of edges between them is as large as possible. Classically, it is an NP-complete problem, which has potential applications ranging from circuit layout design, statistical physics, computer vision, machine learning and network science to clustering. In this paper, we propose a quantum algorithm to solve the maximum cut problem for any graph $G$ with a quadratic speedup over its classical counterparts, where the temporal and spatial complexities are reduced to, respectively, $O(\sqrt{2^n/r})$ and $O(m^2)$. With respect to oracle-related quantum algorithms for NP-complete problems, we identify our algorithm as optimal. Furthermore, to justify the feasibility of the proposed algorithm, we successfully solve a typical maximum cut problem for a graph with three vertices and two edges by carrying out experiments on IBM's quantum computer.

研究の動機と目的

• NP完全な最大カット問題に対して、証明可能な高速化を提供する量子アルゴリズムの開発。
• 補助キュービットと制御操作を用いて、効率的にカット内の辺数を計算する量子回路の設計。
• 解の強化のため、カット評価回路をGroverの探索フレームワークに統合すること。
• IBMの量子シミュレータを用いて、実際の量子プラットフォームでのアルゴリズムの実現可能性を検証すること。
• NP完全問題に対するオракルベースの量子アプローチの中で、本アルゴリズムが最適であるかどうかの検証。

提案手法

• アルゴリズムは、CFEおよびCSEという量子回路を用い、各辺の寄与をキュービットペア上の制御論理操作によって評価することで、カットを貫通する辺の数を計算する。
• 補助キュービット $ z_{i,j} $ は、各辺を処理した後の辺数の累積カウントを保存し、スケーラブルなカウントを可能にする。
• これらの回路をGroverの振幅増幅手順に統合し、最大カット状態を測定する確率を増幅する。
• 初期状態は、$ x_d $、$ z_{i,j} $、および補助キュービットのキュービットレジスタにアダマールゲートを適用して準備され、その後、反復的なGroverステップが実行される。
• ターゲットカットサイズ $ z_{m,t} $ に条件付けたCNOTゲートが、解をマークする補助キュービットを反転させ、その後、拡散により解が増幅される。
• 量子カウントを用いて、最大カットの数 $ R $ を推定し、これによりGroverの反復回数が決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、最大カット問題の正確な解法において、2乗の速度向上を達成できるか？
• RQ2 制御操作を用いた量子回路を効率的に用いて、カット内の辺数をどのように計算できるか？
• RQ3 提案された量子アルゴリズムは、NP完全問題に対するオーケストラルベースのアプローチの中で最適か？
• RQ4 アルゴリズムは、実際の量子コンputングプラットフォームで実装・検証可能か？
• RQ5 収束に必要なGroverの反復回数は何か？また、頂点数の増加に伴い、そのスケーリングはどのように変化するか？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、2乗の速度向上を達成し、古典的時間計算量 $ O(2^n) $ を $ O(\sqrt{2^n / r}) $ に低減する。ここで $ r $ は最大カット解の数を表す。
• アルゴリズムは $ O(m^2) $ のメモリ使用量を要し、スパarsなグラフにおいてキュービット使用量の観点から効率的である。
• 本アルゴリズムは、NP完全問題に対するオーケストラルベースの量子アルゴリズムの中で最適であり、Grover探索の理論的下界と一致する。
• アルゴリズムはIBMの量子シミュレータを用いてQiskitで正しく実装・テストされ、3頂点グラフにおいて確率1/2以上で最大カットを正しく特定している。
• 実験結果により、ビットストリング「010」と「101」（等価な最大カットを表す）が高確率で測定されたことが確認され、正しい解の特定が示された。
• 状態準備、オラクルマーク、アンコンピュテーション、および拡散を含む全回路は、$ \frac{\pi}{4} \sqrt{2^n / R} $ 回の反復で1回の実行で実行され、例のグラフでは $ R = 2 $ である。