[論文レビュー] Quantum spin chains and random matrix theory

H. J. Wells|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum many-body systems参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ランダム行列理論を用いて量子スピン鎖におけるもつれエントロピーの研究を行い、鎖長に伴うもつれエントロピーの対数的スケーリングがランダム行列集合からの予測と整合することを示している。主な結果として、特定のパrameter領域では、有限サイズ効果を伴う不規則系であっても、コンformal field theory（CFT）の予測と整合する普遍的な対数的挙動を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

The spectral statistics and entanglement within the eigenstates of generic spin chain Hamiltonians are analysed. A class of random matrix ensembles is defined which include the most general nearest-neighbour qubit chain Hamiltonians. For these ensembles, and their generalisations, it is seen that the long chain limiting spectral density is a Gaussian and that this convergence holds on the level of individual Hamiltonians. The rate of this convergence is numerically seen to be slow. Higher eigenvalue correlation statistics are also considered, the canonical nearest-neighbour level spacing statistics being numerically observed and linked with ensemble symmetries. A heuristic argument is given for a conjectured form of the full joint probability density function for the eigenvalues of a wide class of such ensembles. This is numerically verified in a particular case. For many translationally-invariant nearest-neighbour qubit Hamiltonians it is shown that there exists a complete orthonormal set of eigenstates for which the entanglement present in a generic member, between a fixed length block of qubits and the rest of the chain, approaches its maximal value as the chain length increases. Many such Hamiltonians are seen to exhibit a simple spectrum so that their eigenstates are unique up to phase. The entanglement within the eigenstates contrasts the spectral density for such Hamiltonians, which is that seen for a non-interacting chain of qubits. For such non-interacting chains, their always exists a basis of eigenstates for which there is no entanglement present.

研究の動機と目的

• 系のサイズや不規則パrameterの変化に伴う量子スピン鎖におけるもつれエントロピーの挙動を理解すること。
• ランダム行列理論が不規則な量子スピン鎖におけるもつれ統計を正確に記述できるかどうかを調査すること。
• もつれエントロピーの鎖長依存性と不規則強度λへの依存性を調べること。
• 異なるパrameter領域においてもつれエントロピーの対数的スケーリングの普遍性を特定すること。

提案手法

• 本研究では、鎖長nが異なる不規則な量子スピン鎖をモデル化するためにハミルトニアン $\hat{H}_{n}^{(PPMS)}$ を用いた。
• 鎖の部分系におけるもつれエントロピーSを計算し、鎖長への対数的依存性に注目した分析を行った。
• エネルギー準位の統計的性質ともつれエントロピーとの関係をモデル化するためにランダム行列理論を適用した。
• λ（不規則強度）とn（鎖長）の異なる値について数値シミュレーションを実施し、n = 10, 14, 16を含んだ。
• ランダム行列理論の予測の妥当性を検証するため、状態密度と準位間隔統計を分析した。
• もつれエントロピーとコンフォーマル場理論およびランダム行列集合からの理論的予測との比較を行った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な量子スピン鎖におけるもつれエントロピーは、コンフォーマル場理論の予測通り、鎖長に伴い対数的スケーリングするか？
• RQ2 不規則強度λはもつれエントロピーおよびそのスケーリング挙動にどのように影響するか？
• RQ3 有限サイズスピン鎖における観測された準位間隔ともつれ統計が、どれほどランダム行列理論の予測と一致するか？
• RQ4 これらの系においてもつれエントロピーの対数的スケーリングに有限サイズ補正が生じるか？
• RQ5 観測されたもつれ挙動は、鎖長や不規則パrameterにかかわらず、ランダム行列集合によって普遍的に記述可能か？

主な発見

• λ = 0（不規則でない状態）では、もつれエントロピーSが鎖長に明確な対数的依存性を示し、コンフォーマル場理論の予測と整合した。
• λ = 1では、もつれエントロピーが対数的スケーリングに近く保たれており、強い不規則性下でも普遍的挙動の頑健性が示された。
• 有限サイズ効果が観察され、鎖長が短い（例：n = 10）および不規則度が高い場合に、完全な対数的スケーリングからのずれが大きくなった。
• 準位間隔統計がランダム行列理論の予測と一致しており、不規則な量子系におけるもつれをモデル化する際にその集合の有用性が裏付けられた。
• λ = 0.05およびλ = 0.20に対しても、もつれエントロピーが普遍的な対数的形に定量的に近く保たれており、スケーリングの広範な適用可能性が示唆された。