[論文レビュー] Quantum spin dynamics

Robert Wieser|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、エネルギー演算子に比例する減衰項を含む非エルミートハミルトニアンを導入することで、量子力学から古典的ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート（LLG）方程式を導出する。得られる時間に依存するシュレーディンガー方程式、リウヴィル方程式、ハイゼンベルク方程式は、すべてLLG力学を再現する。温度効果を組み込むために2つの方法——確率的ノイズと統計的演算子形式——を提案し、解析的および数値的結果によりその有効性を検証する。

ABSTRACT

The classical Landau-Lifshitz equation has been derived from quantum mechanics. Starting point is the assumption of a non-Hermitian Hamilton operator to take the energy dissipation into account. The corresponding quantum mechanical time dependent Schrödinger, Liouville and Heisenberg equation have been described and the similarities and differences between classical and quantum mechanical spin dynamics have been discussed. Furthermore, a time dependent Schrödinger equation corresponding to the classical Landau-Lifshitz-Gilbert equation and two ways to include temperature into the quantum mechanical spin dynamics have been proposed.

研究の動機と目的

• 量子力学から直接ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート（LLG）スピン力学方程式を導出すること、すなわち、物性論的補正項としてではなく、根本的に導出すること。
• 減衰および量子揺らぎの存在下での古典的および量子的スピン力学の違いを明確にすること。
• エネルギー散逸を含み、量子古典的遷移の研究が可能な一貫性のある量子力学的枠組みをスピン力学に提供すること。
• 量子スピン力学シミュレーションに温度および熱揺らぎを組み込むための物理的に妥当な2つの方法を提案すること。
• LLG方程式の量子的導出に関する先行研究における誤解を是正し、数値シミュレーションによるアプローチの妥当性を検証すること。

提案手法

• エネルギー散逸をモデル化するため、$\hat{\cal H} = \hat{H} - i\lambda(\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle)$ の形をした非エルミートハミルトニアンを導入し、$\lambda$ は減衰定数である。
• このハミルトニアンから時間に依存するシュレーディンガー方程式 $i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = (\hat{H} - i\lambda[\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle])|\psi(t)\rangle$ を導出する。
• シュレーディンガー方程式をリウヴィル（フォン・ノイマン）方程式に変換する：$\frac{d\hat{\rho}}{dt} = i[\hat{\rho}, \hat{H}] - \lambda[\hat{\rho}, [\hat{\rho}, \hat{H}]]$。これは、交換子からベクトル積への写像によって古典的LLG形式と一致する。
• スピン演算子のハイゼンベルク方程式の運動を導出し、スピンの期待値 $\langle\hat{\mathbf{S}}\rangle$ の量子力学的時間発展が、$S \to \infty$ の極限で古典的LLG方程式と一致することを示す。
• 非平衡熱的効果をモデル化するため、動的方程式にノイズを追加する確率的アプローチを提案し、温度および量子揺らぎを組み込む。
• 熱平衡状態の系を記述するため、$\hat{\rho}_{\text{Stat.}} = \frac{e^{-\beta\hat{H}}}{\text{Tr}(e^{-\beta\hat{H}})}$ を用いた統計的演算子手法を提案し、自己無撞着な時間発展を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン力学のランダウ＝リフシッツ＝ギルバート（LLG）方程式を、物性論的減衰項を用いずに、量子力学から導出することは可能か？
• RQ2 非エルミートハミルトニアンは、量子スピン系におけるエネルギー散逸および減衰をどのように生成するか？
• RQ3 $\hbar$-依存項やエンタングルメントといった量子効果は、スピン力学の古典的極限にどのように影響を与えるか？
• RQ4 量子スピン力学シミュレーションに温度および熱揺らぎを物理的に整合的に組み込む方法は何か？
• RQ5 提案された2つの温度効果の取り入れ方——確率的ノイズと統計的演算子——は、物理的解釈および適用範囲においてどのように異なるか？

主な発見

• 非エルミートハミルトニアン $\hat{\cal H} = \hat{H} - i\lambda(\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle)$ は、スピン演算子の期待値において、古典的LLG方程式を再現する量子力学的時間発展を生成する。
• このハミルトニアンから導かれるリウヴィル方程式 $\frac{d\hat{\rho}}{dt} = i[\hat{\rho}, \hat{H}] - \lambda[\hat{\rho}, [\hat{\rho}, \hat{H}]]$ は、交換子からベクトル積への写像を経て、古典的LLG方程式の構造と一致する。
• ゼーマンハミルトニアンを有する単一スピンにおいて、$S \to \infty$ の極限では、量子期待値 $\langle\hat{\mathbf{S}}\rangle$ が古典的スピンの軌道と同一のものに従う。
• 多スピン系では、ハイゼンベルク方程式における $\hbar$-依存項および量子エンタングルメントの出現により、古典的振る舞いからのずれが生じるが、これは古典的極限でのみ消える。
• 確率的ノイズ手法は、非平衡熱的効果（量子揺らぎを含む）のシミュレーションを可能にするが、統計的演算子手法は平衡系に限定して有効である。
• 数値的シミュレーションにより、解析的予測が確認され、適切な条件下で量子期待値と古典的LLG軌道との間に整合性が確認された。