[論文レビュー] Quantum state preparation without coherent arithmetic

Sam McArdle, András Gilyén+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、量子固有値変換（QET）を用いて、既知の関数によって定義された振幅を持つ量子状態を準備する手法を提示する。この手法は、整合的算術や振幅オракルの必要性を回避する。正弦関数をブロック符号化し、QETを介して多項式またはフーリエ近似を適用することで、アダルトキュービットの必要数を4つ（偶奇性が明確な関数の場合は3つ）にまで削減し、最先端の手法と比較して1桁のキュービット削減を達成する。滑らかで近似可能な関数に対しては、トフォリゲート数も同程度に保たれる。

ABSTRACT

We introduce a versatile method for preparing a quantum state whose amplitudes are given by some known function. Unlike existing approaches, our method does not require handcrafted reversible arithmetic circuits, or quantum table reads, to encode the function values. Instead, we use a template quantum eigenvalue transformation circuit to convert a low cost block encoding of the sine function into the desired function. Our method uses only 4 ancilla qubits (3 if the approximating polynomial has definite parity), providing order-of-magnitude qubit count reductions compared to state-of-the-art approaches, while using a similar number of gates if the function can be well represented by a polynomial or Fourier approximation. Like black-box methods, the complexity of our approach depends on the 'L2-norm filling-fraction' of the function. We demonstrate the algorithmic utility of our method, including preparing Gaussian and Kaiser window states.

研究の動機と目的

• 連続関数によって定義された振幅を持つ量子状態をスケーラブルかつ低リソースで準備するための方法を開発すること。
• 振幅オラクル構築における、手作業による整合的算術回路や量子メモリロードの必要性を排除すること。
• アダルトキュービット使用量の最小化により、フォールトトレラント量子アルゴリズムにおけるキュービットオーバーヘッドを低減すること。
• ガウス関数、カイゼル窓関数、サイクロイド関数など多様な関数に適用可能な統一された回路テンプレートを実現すること。
• 量子特異値変換（QSVT）を介して多項式またはフーリエ級数近似を用いた効率的な状態準備のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本手法は、正弦関数の低コストなブロック符号化 $ A = \sum_x \sin(x/N)\ket{x}\!\bra{x} $ を基本リソースとして用いる。
• 量子固有値変換（QET）を用いて、$ A $ の固有値を $ f((b-a)\arcsin(y)+a) $ の多項式またはフーリエ近似により目的関数値に変換する。
• 変換は、4つのアダルトキュービット（近似多項式の偶奇性が明確な場合3つ）を用いたQET回路テンプレートで実装される。
• フーリエベースの近似では、$ d $ 次のフーリエ級数を用い、$ U(A) $ および $ U(A)^\dagger $ を $ d $ 回適用し、さらに $ 8d+4 $ 個の単一キュービット回転を適用する。
• 正規化はアダミット補強により補正され、1つのキュービットが追加され、$ \mathcal{F}_{\tilde{f}}^{[\infty]} \lesssim 1 $ の場合に1ラウンドで適用される。
• 関数値の離散化を回避することで、固定小数点算術ではなく連続的近似が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各関数に対して個別にカスタムな整合的算術回路を構築しなくても、量子状態準備が可能かどうか。
• RQ2 ゲート数の効率を維持しつつ、状態準備におけるアダルトキュービット数をどの程度まで削減できるか。
• RQ3 ガウス関数、カイゼル窓関数、サイクロイド関数など多様な関数に共通して再利用可能な1つの回路テンプレートを実現できるか。
• RQ4 滑らかでない、または周期的でない関数（例：$ \sqrt{\bar{x}} $）に対して、この手法はどの程度の性能を示すか。
• RQ5 このQETベースのフレームワークを用いて、多次元関数を準備する際のリソースコストはいかほどか。

主な発見

• 本手法は、アダルトキュービット数を4つ（偶奇性が明確な関数の場合は3つ）にまで削減し、最先端のアダルトキュービットベースのオラクル手法と比較して1桁の削減を達成した。
• 32キュービットのガウス状態に対して、本手法は約 $ 1.2 \times 10^5 $ 個のトフォリゲートと4つのアダルトキュービットを要し、ゲート数は従来手法と同等ながら、キュービットフットプリントは著しく削減された。
• 32キュービットのカイゼル窓状態に対しても、$ 1.5 \times 10^5 $ 個のトフォリゲートと4つのアダルトキュービットを要し、再びキュービットコストが低減された。
• 区間 $ \bar{x} \in [0, 2\pi] $ におけるサイクロイド関数に対して、$ d=120 $ のフーリエ級数近似により $ L_2 $ 誤差が $ < 10^{-3} $ に抑えられ、約 $ 7.35 \times 10^5 $ 個のトフォリゲートと2つのアダルトキュービットを要した。
• 本手法は、閉形式の積分を持たないため、ブラックボックス型またはGRベースの振幅オラクルでは実装が困難な関数（例：$ \tanh $、$ \mathrm{cycloid} $）の準備を可能にした。
• 関数 $ \sqrt{\bar{x}} $ については、0付近での微分不可能性およびフーリエ級数におけるギブス現象のため、本手法は非効率であると判明し、このような場合の代替手法の必要性が示唆された。