[論文レビュー] Quantum State Tomography for Matrix Product Density Operators

Zhen Qin, Casey Jameson+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2023

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定数の結合次元を持つ行列積演算子（MPO）で近似可能な1次元量子状態の効率的量子状態トモグラフィー（QST）に対する理論的保証を確立する。圧縮センシングと経験過程理論を活用することで、統計的ノイズを伴う1回測定によるハール一様乱数測定を用いても、量子状態の再構成に必要なコピー数が、量子ビット数に対して線形に増加する多項式的数に制限されることを証明する。

ABSTRACT

The reconstruction of quantum states from experimental measurements, often achieved using quantum state tomography (QST), is crucial for the verification and benchmarking of quantum devices. However, performing QST for a generic unstructured quantum state requires an enormous number of state copies that grows \emph{exponentially} with the number of individual quanta in the system, even for the most optimal measurement settings. Fortunately, many physical quantum states, such as states generated by noisy, intermediate-scale quantum computers, are usually structured. In one dimension, such states are expected to be well approximated by matrix product operators (MPOs) with a finite matrix/bond dimension independent of the number of qubits, therefore enabling efficient state representation. Nevertheless, it is still unclear whether efficient QST can be performed for these states in general. In this paper, we attempt to bridge this gap and establish theoretical guarantees for the stable recovery of MPOs using tools from compressive sensing and the theory of empirical processes. We begin by studying two types of random measurement settings: Gaussian measurements and Haar random rank-one Positive Operator Valued Measures (POVMs). We show that the information contained in an MPO with a finite bond dimension can be preserved using a number of random measurements that depends only \emph{linearly} on the number of qubits, assuming no statistical error of the measurements. We then study MPO-based QST with physical quantum measurements through Haar random rank-one POVMs that can be implemented on quantum computers. We prove that only a \emph{polynomial} number of state copies in the number of qubits is required to guarantee bounded recovery error of an MPO state.

研究の動機と目的

• 大規模量子系における標準的量子状態トモグラフィー（QST）の指数的資源コストを緩和すること。
• 行列積演算子（MPO）構造を持つ量子状態を再構成するために必要な状態コピー数の理論的境界を確立すること。
• 定数の結合次元を持つMPO状態が、多項式的数の状態コピーのみで安定して回復可能であることを示すこと。
• ハール一様乱数測定が、1回測定による統計的ノイズを伴っても、効率的なQSTを可能にすること。
• 近い将来の量子デバイスに適した実用的測定設定（例えばt-デザイン）へのフレームワークの一般化すること。

提案手法

• 圧縮センシングと経験過程理論のツールを用いて、ランダム測定からのMPO回復の安定性を分析する。
• ガウス測定とハール一様乱数射影測定の2つの測定モデルを分析し、情報保持に向けた量子ビット数に線形依存が成り立つことを示す。
• ベルンシュタイン型不等式と多項分布の集中不等式を用いて、経験的測定における統計誤差を制御する。
• ランダム測定集合下でのトレースノルム最小化フレームワークを用いて、回復誤差の確率的境界を導出する。
• 各ランダム基底に対して1回の測定で十分であり、ノイズのある結果であっても誤差が有界に保たれることを示す。
• 局所的ランダム測定やt-デザイン測定への一般化を実施し、現在の量子ハードウェアで実現可能な測定設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合次元が定数であるMPO近似状態に対して、量子状態トモグラフィーを効率的に行うことは可能か？
• RQ2 ランダム測定を用いてMPO状態を安定して回復するための最小状態コピー数は何か？
• RQ3 統計的ノイズを伴っても、ハール一様乱数射影測定により多項式的数のコピーでQSTが可能か？
• RQ4 各基底に対して1回の測定のみを用いても、有界な回復誤差を達成できるか？
• RQ5 近い将来のNISQデバイスに適したt-デザインなどのより実用的な測定設定へ、このフレームワークを拡張可能か？

主な発見

• MPO情報の保持に必要なランダム測定の数は、量子ビット数に対して指数的ではなく線形に増加する。
• ハール一様乱数射影測定下では、MPO状態の有界な回復誤差を保証するために必要な状態コピー数は、量子ビット数の多項式的数に制限される。
• 経験的推定の集中性のおかげで、各測定基底を1回だけ使用しても、安定した回復が可能である。
• 多項分布の集中不等式と経験過程技術を用いて、回復誤差の理論的境界が導出された。
• t-デザインや局所的ランダム測定への一般化により、近い将来の量子デバイスへの適用が可能となった。
• 本研究は、MPO状態トモグラフィーにおける最初のきめ細やかな多項式的サンプル複雑度の境界を提供し、理論的ギャップを埋めた。