[論文レビュー] Quantum subspace expansion algorithm for Green's functions

François Jamet, Abhishek Agarwal+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、連分数表現を用いたランチョス法と二段階マルチグリッド Trotter 時間発展演算を用いて基底状態を効率的に準備する量子部分空間拡張（QSE）アルゴリズムを提案し、強相関電子系のグリーン関数を量子コンピュータ上で計算する。この手法は、直接的な時間発展演算と比較して回路深さが数個のオーダーも低く、金属的およびモット絶縁体的状態の両方において高精度な結果を得られ、近位量子デバイスでの実現可能性を実証する。

ABSTRACT

We present an algorithm to compute Green's functions on quantum computers for interacting electron systems, which is a challenging task on conventional computers. It uses a continued fraction representation based on the Lanczos method, where the wave functions are expanded as linear combination of basis states within a quantum subspace. While on conventional computers the cost of the computation grows exponentially with system size, limiting the method to small systems, by representing the basis states on a quantum computer one may overcome this exponential scaling barrier. We propose a two-level multigrid Trotter time evolution for an efficient preparation of the basis states in a quantum circuit, which takes advantage of the robustness of the subspace expansion against Trotter errors. Using a quantum emulator we demonstrate the algorithm for the Hubbard model on a Bethe lattice with infinite coordination, which we map to a 16 qubit Anderson impurity model within the dynamical mean field theory. Our algorithm computes the Green's function accurately for both the metallic and Mott insulating regimes, with a circuit depth several orders of magnitude below what has been proposed using time evolution. The two-level multigrid time evolution reduces the number of Trotter steps required to compute the Green's function to about four to six. We therefore expect that the method can be used on near term quantum computers for moderate system sizes, while allowing for scalability to larger circuit depths and qubit numbers on future fault tolerant quantum computers.

研究の動機と目的

• 強相関系における従来のグリーン関数計算の指数的スケーリングを克服すること。
• 回路深さの制限を克服することで、近位量子コンピュータ上でのグリーン関数の効率的シミュレーションを可能にすること。
• 部分空間拡張と時間発展演算を組み合わせ、Trotter誤差を低減したスケーラブルで頑健なグリーン関数計算手法を開発すること。
• ダイナミカルメタンフィールド理論（DMFT）に基づくアンダーソンインパルティモデルに写像された Hubbard モデルに対して、16キュービット量子エミュレータ上でのアルゴリズムの実現可能性を示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、Krylov部分空間構造を活用することで収束を高速化する、ランチョス法に基づくグリーン関数の連分数表現を用いる。
• 部分空間拡張に必要な基底状態を効率的に準備するため、二段階マルチグリッド Trotter 時間発展演算回路を採用し、Trotter誤差の影響を最小限に抑える。
• 部分空間内の各基底状態を個別に量子コンピュータ上で準備することで、深層変分回路を回避し、耐障害性を向上させる。
• 選択された基底におけるハミルトニアン行列要素は量子コンピュータ上で計算され、展開係数は古典的線形代数により解かれる。
• 修正されたグリーン関数と対角成分の線形結合を用いることで、グリーン関数の非対角成分を計算する手法を拡張する。
• 無限次元協調性を持つベーテラティス Hubbard モデルは、ダイナミカルメタンフィールド理論（DMFT）内において16キュービットのアンダーソンインパルティモデルに写像される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接的な時間発展演算と比較して、回路深さを著しく低減できる量子部分空間拡張アルゴリズムは、強相関系のグリーン関数を計算可能か？
• RQ2 二段階マルチグリッド Trotter 時間発展演算は、部分空間拡張における基底状態準備の精度と効率をどのように向上させるか？
• RQ3 このアルゴリズムは、量子エミュレータ上での Hubbard モデルの金属的およびモット絶縁体的相をどの程度正確にシミュレートできるか？
• RQ4 近位量子デバイスにおいて、Trotter誤差に対して頑健でありながら、低回路深さを維持できるか？
• RQ5 状態準備の忠実度とスケーラビリティの観点から、部分空間拡張アプローチは変分量子アルゴリズムと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 16キュービット量子エミュレータ上での Hubbard モデルにおいて、金属的およびモット絶縁体的状態の両方で、グリーン関数が高精度に計算された。
• 直接的な時間発展演算手法と比較して、必要な回路深さが数個のオーダーも低く、必要な Trotter ステップは4〜6ステップにまで削減された。
• 二段階マルチグリッド Trotter 時間発展演算により、低回路深さでも誤差蓄積が最小限に抑えられ、安定した状態準備が可能となった。
• 100個のマツバラ周波数と有限の逆温度 β = 100 を用いたダイナミカルメタンフィールド理論ループで収束が達成され、基底状態の支配的寄与が保証された。
• 修正されたグリーン関数の線形結合を用いることで、グリーン関数の非対角成分が成功裏に計算され、手法の適用範囲が拡張された。
• 将来的なフォールトトレランス量子コンピュータへのスケーラビリティの可能性が示され、回路深さとキュービット数の拡張が可能である。