[論文レビュー] Quantum supremacy and random circuits

Ramis Movassagh|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、古典的コンピュータがランダム量子回路の出力確率を推定することは#P困難であることを証明し、ランダム回路サンプリング（RCS）が量子優位性を示す最良の候補であることを確立している。ケイリー路の補間を導入し、ランダム行列理論と代数幾何学の進展を活用することで、著者らは小さな摂動に対しても古典的シミュレーションが依然として指数的困難であることを示し、理想化された仮定を超えた量子優位性の強固な証拠を提供している。

ABSTRACT

As Moore's law reaches its limits, quantum computers are emerging with the promise of dramatically outperforming classical computers. We have witnessed the advent of quantum processors with over $50$ quantum bits (qubits), which are expected to be beyond the reach of classical simulation. Quantum supremacy is the event at which the old Extended Church-Turing Thesis is overturned: A quantum computer performs a task that is practically impossible for any classical (super)computer. The demonstration requires both a solid theoretical guarantee and an experimental realization. The lead candidate is Random Circuit Sampling (RCS), which is the task of sampling from the output distribution of random quantum circuits. Google recently announced a $53-$qubit experimental demonstration of RCS. Soon after, classical algorithms appeared that challenge the supremacy of random circuits by estimating their outputs. How hard is it to classically simulate the output of random quantum circuits? We prove that estimating the output probabilities of random quantum circuits is formidably hard ($\#P$-Hard) for any classical computer. This makes RCS the strongest candidate for demonstrating quantum supremacy relative to all other proposals. The robustness to the estimation error that we prove may serve as a new hardness criterion for the performance of classical algorithms. To achieve this, we introduce the Cayley path interpolation between any two gates of a quantum computation and convolve recent advances in quantum complexity and information with probability and random matrices. Furthermore, we apply algebraic geometry to generalize the well-known Berlekamp-Welch algorithm that is widely used in coding theory and cryptography. Our results imply that there is an exponential hardness barrier for the classical simulation of most quantum circuits.

研究の動機と目的

• ランダム回路サンプリング（RCS）を用いた量子優位性の厳密な理論的基盤を確立し、その古典的シミュレーションの困難性を証明すること。
• 非物理的な仮定（例えば、非ユニタリーオラクルへのアクセス）に依存する先行研究の限界を克服すること。
• ランダム回路において平均ケースの困難性が成立することを示し、大多数のインスタンスが古典的にシミュレートできないことを保証すること。
• 小さな誤差に対しても有効な堅牢なハードネス枠組みを開発し、量子優位性の実用的検証を可能にすること。
• 量子複雑度理論とランダム行列理論、代数幾何学を統合し、RCSのハードネス証明を強化すること。

提案手法

• 量子ゲート間の連続的補間としてケイリー路を導入し、解析的目的のためのユニタリ回路の滑らかな変形を可能にする。
• パトゥリの補題を適用して、特にテイラー級数展開の切り捨てに起因する量子回路振幅の多項式近似誤差を評価する。
• 代数幾何学を用いてベルレカンプ＝ウェルチアルゴリズムを一般化し、量子振幅推定における多項式補間の誤り訂正技術を可能にする。
• ランダム行列理論と量子回路解析を組み合わせ、典型的なランダム回路が出力確率推定において指数的困難であることを示す。
• #P困難問題からランダム回路の出力振幅推定への還元を確立し、標準の複雑度仮定の下でハードネスを証明する。
• 古典的アルゴリズムがユニタリーオラクルにアクセスしている場合に限り、加法的誤差（例：exp(−poly(n)）に対する堅牢性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的コンピュータがランダム量子回路の出力確率を推定することは#P困難か？
• RQ2 小さな摂動や近似誤差に対して、ランダム回路サンプリングのハードネスは堅牢か？
• RQ3 古典的シミュレーションで非ユニタリ近似が使われると、量子優位性の主張は無効化されるか？
• RQ4 代数幾何学とランダム行列理論を用いて、量子優位性の複雑度的根拠を強化できるか？
• RQ5 RCSの平均ケースのハードネスは、大多数のランダム回路が古典的に非効率であることを保証するのに十分か？

主な発見

• ランダム量子回路の出力確率推定は#P困難であり、古典的シミュレーションに対する根本的な指数的障壁を確立している。
• 加法的誤差（exp(−poly(n))）に対する堅牢性が保たれることで、古典的シミュレーションアルゴリズムの評価基準が新たに得られた。
• 非ユニタリーオラクルや切り捨てられたオラクルに依存する古典的アルゴリズムは、ユニタリ回路に対して物理的に実現可能ではないため、量子優位性を反証することはできない。
• ケイリー路補間法により、量子回路の連続的かつユニタリな変形が可能になり、摂動下での振幅推定の厳密な解析が可能になった。
• 一般化されたベルレカンプ＝ウェルチアルゴリズムにより、ノイズや切り捨てられた入力があっても、高次多項式として表される量子振幅を正確に回復できる。
• 解析により、ランダム回路をシミュレートする任意の古典的アルゴリズムは、多項式近似において指数的に大きな次数を必要とすることが判明し、非効率であることが示された。