[論文レビュー] Quantum Theory for the Binomial Model in Finance Theory

Zeqian Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、金融における二項市場モデルの量子モデルを提案し、そのリスクニュートラルな世界がR³内の単位球内に位置する円板を形成することを示している。この円板の半径は無リスク金利および2つのアービッジ防止閾値に依存する。N個の区別可能な量子粒子にマクスウェル＝ボルツマン統計を適用することで、著者らはコックス＝ロス＝ルビンスタインの二項オプション評価公式を再導出しており、古典的オプション評価の量子的基盤を確立している。

ABSTRACT

In this paper, a quantum model for the binomial market in finance is proposed. We show that its risk-neutral world exhibits an intriguing structure as a disk in the unit ball of ${\bf R}^3,$ whose radius is a function of the risk-free interest rate with two thresholds which prevent arbitrage opportunities from this quantum market. Furthermore, from the quantum mechanical point of view we re-deduce the Cox-Ross-Rubinstein binomial option pricing formula by considering Maxwell-Boltzmann statistics of the system of $N$ distinguishable particles.

研究の動機と目的

• 金融における二項市場モデルのための量子力学的枠組みを構築すること。
• 量子力学がリスクニュートラル評価およびオプション評価のより深い基盤を提供できるかを検討すること。
• 量子統計力学を用いて古典的コックス＝ロス＝ルビンスタインの二項オプション評価公式を再導出すること。
• 量子二項市場モデルにおけるリスクニュートラル世界の幾何的構造を調査すること。

提案手法

• パウリ行列を用いて2準位ヒルベルト空間における量子演算子Rとして株価リターンをモデル化する。
• 期待リターンが無リスク金利に一致する条件を満たす密度行列としてリスクニュートラル状態を定義する。
• N個の区別可能な粒子に対するマクスウェル＝ボルツマン統計を用いて、上昇／下降移動の確率分布を計算する。
• リスクニュートラル評価原理を適用し、オプション価格を量子状態の期待値として導出する。
• 二項係数および確率を含む和としてオプション価格を導出し、標準的なコックス＝ロス＝ルビンスタインの公式に至る。
• ボーズ＝アインシュタイン統計を用いた代替の量子統計モデルを、同じ価格設定問題に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融における二項市場モデルを、古典的確率論ではなく量子力学で一貫して記述できるか？
• RQ2 量子二項市場モデルにおけるリスクニュートラル世界の幾何的構造は何か？
• RQ3 マクスウェル＝ボルツマン統計を用いることで、どのようにして古典的コックス＝ロス＝ルビンスタインのオプション評価公式が導かれるか？
• RQ4 リスクニュートラル円板の半径に現れる閾値がアービッジを防止するために果たす役割は何か？
• RQ5 オプション価格の上昇／下降確率依存性について、量子モデルは古典モデルとどのように異なるか？

主な発見

• 量子二項市場のリスクニュートラル世界は、R³内の単位球内に位置する円板を形成し、その半径は無リスク金利および2つのアービッジ防止閾値によって決定される。
• マクスウェル＝ボルツマン統計に従うN個の区別可能な量子粒子の系として多期間市場をモデル化することで、コックス＝ロス＝ルビンスタインの二項オプション評価公式が再導出された。
• オプション価格は二項確率の和として表現され、リスクニュートラル確率 q = (r−a)/(b−a) が量子状態の条件から自然に導かれる。
• 導出された公式は古典的結果と一致する：C₀^N = S₀Ψ(τ;N,q') − K(1+r)^−NΨ(τ;N,q)，ここでΨは補完的二項分布関数である。
• ボーズ＝アインシュタイン統計を用いた代替の価格設定公式が導出され、パス全体にわたる正規化された確率分布が得られ、オプション評価のための異なる量子統計的基盤が示唆された。
• 量子モデルはリスクニュートラル測度に幾何的かつ物理的解釈を提供し、Bloch球および量子状態空間の幾何学と関連づけた。