[論文レビュー] Quantum thermalization via percolation

Christine Khripkov, Amichay Vardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Quantum many-body systems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子遷移ネットワークにおける$̂$-依存性のあるスパarsity（疎らかさ）に起因する、線形応答理論（LRT）からの逸脱によって生じる熱化における量子異常を明らかにした。これにより、エネルギー空間におけるパーコレーション様のエネルギー拡散が生じる。カオス的古典的運動が存在するにもかかわらず、拡散係数$D$は異常に小さくなり、古典的予測と比較して熱化が遅れる。

ABSTRACT

We highlight a dynamical anomaly in which the rate of relaxation towards thermal equilibrium in a bi-partite quantum system violates the standard linear-response (Kubo) formulation, even when the underlying dynamics is highly chaotic. This anomaly originates from an $\hbar$-dependent sparsity of the underlying quantum network of transitions. Using a minimal bi-partite Bose-Hubbard model as an example, we find that the relaxation rate acquires an anomalous $\hbar$ dependence that reflects percolation-like dynamics in energy space.

研究の動機と目的

• カオス的古典的運動が存在する中でも、標準的な線形応答理論（LRT）に反する新しい量子異常を同定・特徴づけること。
• プランク定数$\hbar$の有限値が、局在化とは異なりネットワークのスパarsityに起因して、熱化における量子-古典対応性（QCC）を破壊する仕組みを解明すること。
• 二準位系ボーズ・ハッバード模型における緩和率が、エネルギー空間におけるパーコレーション様のダイナミクスに起因して異常な$\hbar$-依存性を示すことを示すこと。
• 標準的なクーブ式が、遷移ネットワークが密で接続されていると仮定しているため、スパースな接続性を示す量子系では成立しないため、熱化率を過大評価することを示すこと。
• このような系における熱化が、バリアントのない均一な拡散ではなく、ブottleneck（狭窄部）を伴う抵抗ネットワークモデルによる拡散的エネルギー移動によって進行することを確立すること。

提案手法

• カオス的トリマー系の運動と単体への弱い結合を有する、$N$個のボーズ粒子をもつ最小限の二準位系ボーズ・ハッバード模型を用い、$\hbar = 1/N$として熱化を研究する。
• 遷移率を不規則な固有状態間で計算するため、フェルミの黄金律（FGR）の枠組みを用い、遷移の量子ネットワークを構築する。
• エネルギー空間における遷移ネットワークを抵抗ネットワークとしてモデル化し、キルヒホッフの法則を適用して、行列の逆行列計算により有効拡散係数$D$を計算する。
• スパースなネットワークにおける導電率および$D$の計算を可能にするために、擬似逆行列ルーチンを用いて離散ラプラシアン系$\bm{G}\vec{V} = \vec{I}$を解く。
• スパarsityパラメータ$s$を用いて、量子的拡散係数$D_{\text{qm}}$と古典的推定値$D_{\text{cl}}$を比較し、$s$が小さいときには$D_{\text{qm}} \ll D_{\text{cl}}$であることを示す。
• 非対称な遷移率行列を保つために、離散$n$変数および連続$x$変数の両形式を用いたフォッカー・プランク方程式（FPE）シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的古典的運動を示す量子系において、なぜ線形応答理論が正しい熱化率を予測できないのか？
• RQ2 有限な$\hbar$の値が、多体局在化が存在しない状況でも、熱化における量子-古典対応性（QCC）をどのように破壊するのか？
• RQ3 量子遷移ネットワークにおけるネットワークのスパarsity（疎らかさ）の役割は何か？ そして、それがエネルギー空間におけるパーコレーション様ダイナミクスをどのように引き起こすのか？
• RQ4 スパースな量子ネットワークにおけるフォッカー・プランク方程式の拡散係数$D$は$\hbar$にどのように依存するのか？ また、古典的推定値とはどのように異なるのか？
• RQ5 二準位系量子系における熱化プロセスは、エネルギー移動の抵抗ネットワークモデルによって正確に記述可能か？ そして、緩和時間にどのような意味があるのか？

主な発見

• 二準位系ボーズ・ハッバード模型における緩和率は、量子遷移ネットワークのスパarsityに起因して、異常な$\hbar$-依存性を示し、標準的な線形応答理論に反する。
• 有効拡散係数$D$は古典的推定値$D_{\text{cl}}$と比較して顕著に小さくなり、スパースネットワークの極限では$D_{\text{qm}}/D_{\text{cl}} \ll 1$となる。
• 量子遷移ネットワークは、狭窄部と好ましい経路を有するパーコレーション系のようであり、遅い非拡散的エネルギー拡散を引き起こす。
• 抵抗ネットワーク計算により、$D$が$\mathrm{EXP}_{d+2}(1/s) \, e^{-1/s} \, D_{\text{cl}}$とスケーリングすることが判明し、これは可変範囲ホッピングに類似した挙動を示す。
• この異常は、基礎的な古典的運動が非常にカオス的であっても持続する。これは、ネットワークトポロジーに起因して、量子的熱化が古典的対応物よりも遅くなる可能性を示している。
• 熱化は、同じ定常エネルギー分布を示すフォッカー・プランク方程式で記述されるが、緩和の決定的メカニズムは均一な拡散から、スパースな経路を通るパーコレーションに移行する。