[論文レビュー] Quantum tomography using state-preparation unitaries

Joran van Apeldoorn, Arjan Cornelissen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、状態準備ユニタリとその逆を用いた量子状態トモグラフィーのための効率的な量子アルゴリズムを提示する。純粋状態と混合状態の両方において、クエリ複雑度を最適化し、ℓ2-近似のためのd/εクエリで十分であり、ランクrの混合状態のトレースノルム推定にはdr/εクエリで十分であることを示し、従来のε⁻²スケーリングを必要としていた手法と比べて顕著な改善を達成した。

ABSTRACT

We describe algorithms to obtain an approximate classical description of a $d$-dimensional quantum state when given access to a unitary (and its inverse) that prepares it. For pure states we characterize the query complexity for $\ell_q$-norm error up to logarithmic factors. As a special case, we show that it takes $\widetildeΘ(d/\varepsilon)$ applications of the unitaries to obtain an $\varepsilon$-$\ell_2$-approximation of the state. For mixed states we consider a similar model, where the unitary prepares a purification of the state. In this model we give an efficient algorithm for obtaining Schatten $q$-norm estimates of a rank-$r$ mixed state, giving query upper bounds that are close to optimal. In particular, we show that a trace-norm ($q=1$) estimate can be obtained with $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon)$ queries. This improves (assuming our stronger input model) the $\varepsilon$-dependence over the algorithm of Haah et al.\ (2017) that uses a joint measurement on $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon^2)$ copies of the state. To our knowledge, the most sample-efficient results for pure-state tomography come from setting the rank to $1$ in generic mixed-state tomography algorithms, which can be computationally demanding. We describe sample-optimal algorithms for pure states that are easy and fast to implement. Along the way we show that an $\ell_\infty$-norm estimate of a normalized vector induces a (slightly worse) $\ell_q$-norm estimate for that vector, without losing a dimension-dependent factor in the precision. We also develop an unbiased and symmetric version of phase estimation, where the probability distribution of the estimate is centered around the true value. Finally, we give an efficient method for estimating multiple expectation values, improving over the recent result by Huggins et al.\ (2021) when the measurement operators do not fully overlap.

研究の動機と目的

• 状態準備ユニタリとその逆を入手できる条件下で、量子状態を再構築するための効率的な量子アルゴリズムの開発。
• 従来のコピーに基づく手法で見られるε⁻²依存性を示す量子状態トモグラフィーのクエリ複雑度を低下させること。
• より強い入力モデル下で、純粋状態および混合状態の両方に対して、サンプル最適なアルゴリズムを提供すること。
• 測定演算子が完全に重複しない場合に、複数の期待値推定を現在の手法よりも効率的に実行するための手法を活用すること。

提案手法

• 誤差依存性を低減するために、振幅推定と、新たな対称的かつ不偏な位相推定手順を用いて、振幅を推定する。
• 適切に調整された前増幅を施したブロックエンコーディングアプローチを用いて、複数の期待値を効率的に推定する。
• 次元依存の精度損失なしに、ℓ∞-ノルム推定をℓq-ノルムおよびシュレーディンガーq-ノルム推定に変換するためのベクトルノルム変換補題を適用する。
• 純化と振幅推定を活用して、eO(dr/ε)クエリでランクrの混合状態のシュレーディンガー1-ノルム（トレースノルム）を推定する手法を開発する。
• 複数の正規化された演算子 Ej の期待値を、eO(√‖∑j E²j‖ / ε)クエリで推定する技術を導入し、演算子が重複する場合に従来の境界を上回る性能を達成する。
• 密度行列の成分に比例する確率分布を用いて、Frobeniusノルム推定をℓ2-近似により実現する手法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態準備ユニタリを用いる場合、1/ε²に依存しないクエリ複雑度で量子状態トモグラフィーを実行できるか？
• RQ2 ユニタリによる状態準備モデル下で、純粋状態のℓ2-ノルム近似における最適クエリ複雑度は何か？
• RQ3 純化とユニタリアクセスを用いる場合、混合状態トモグラフィーがε⁻²未満のクエリ数でトレースノルム誤差を達成できるか？
• RQ4 測定演算子が完全に重複しない場合に、複数の期待値を現在の手法よりも効率的に推定する方法はあるか？
• RQ5 POVMに類似した構造を用いることで、演算子ノルムに依存するクエリ複雑度を低減できるか？

主な発見

• 純粋状態の場合、ε-ℓ2-近似を達成するためのeΘ(d/ε)クエリで十分であり、古典的手法およびコピーに基づく手法よりも優れている。
• ランクrの混合状態の場合、トレースノルム推定はeO(dr/ε)クエリで達成可能であり、対数的要因を除いて予想される最適スケーリングと一致する。
• ユニタリによる純化状態の準備が可能であると仮定すると、Haahら（2007）の手法に比べ、ε依存性をε⁻²からε⁻¹に削減した。
• 真の値を中心とする推定分布を保証する、不偏かつ対称的な位相推定手順が開発された。
• 正規化された演算子 Ej の複数の期待値は、eO(√‖∑j E²j‖ / ε)クエリで推定可能であり、演算子が重複する場合に従来の手法よりも効率的である。
• 密度行列の成分に比例する確率分布のℓ2-近似により、Frobeniusノルム推定をeO(d/ε²)サンプルで達成する手法を提案した。