[論文レビュー] Quantum total detection probability from repeated measurements II. Exploiting symmetry

Felix Thiel, Itay Mualem+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称グラフ上の量子1回通過過程における全検出確率を調査し、対称性がダーク状態を生じさせることで検出確率を1未塔に低下させることを示している。検出状態の安定化部分群を用いて物理的に同等の初期状態を同定することで、著者らは $P_{\text{det}}$ の上界を $1/\nu$ として導出し、ここで $\nu$ はそのような状態の数であるとし、$P_{\text{det}}$ が対称化ハミルトニアンの対角化を用いて計算可能であることを証明している。

ABSTRACT

A quantum walker on a graph, prepared in the state $| ψ_{ m in} angle$, e.g. initially localized at node $r_{ m in}$, is repeatedly probed, with fixed frequency $1/τ$, to test its presence at some target node $r_{ m d}$ until the first successful detection. This is a quantum version of the first-passage problem. We investigate the total detection probability $P_{ m det}$, i.e. the probability to eventually detect the particle after an arbitrary number of detection attempts. It is demonstrated that this total detection probability is less than unity in symmetric systems, where it is possible to find initial states which are shielded from the detector by destructive interference, so-called dark states. The identification of physically equivalent initial states yields an upper bound for $P_{ m det}$ in terms of the reciprocal of the number $ν$ of physically equivalent states. The relevant subgroup of the system's symmetry operations is found to be the stabilizer of the detection state. Using this, we prove that all bright, i.e. surely detectable, states are symmetric with respect to the stabilizer. This implies that $P_{ m det}$ can be obtained from a diagonalization of the "symmetrized" Hamiltonian, instead of having to find all eigenstates of the Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 対称な量子系において全検出確率 $P_{\text{det}}$ が1未塔となる理由、特に破壊的干渉によるものであることを理解すること。
• 対称性が検出不能なダーク状態を生成する役割を特定すること。
• 物理的に同等の初期状態の数に基づいて $P_{\text{det}}$ の一般上界を導出すること。
• 計算複雑性を低減するために、$P_{\text{det}}$ がフルスペクトル分解の代わりに、縮小された対称化ハミルトニアンを用いて計算可能であることを示すこと。
• 群の対称性、 degeneracy（簡約性）および量子1回通過過程における検出可能性の間の関係を形式化すること。

提案手法

• 検出状態 $\ket{\psi_{\text{d}}}$ の安定化部分群を特定する。これは $\ket{\psi_{\text{d}}}$ を不変にする対称操作の集合として定義される。
• 安定化部分群の要素によって関連づけられる初期状態を物理的に同等の状態と定義し、その数を $\nu$ で表す。
• 群表現論を用いて、検出振幅における位相因子が安定化表現の特性指標に一致することを示す。
• 初期状態の対称部分空間に射影するための対称化射影演算子 $\hat{P}_{\cal S}$ を構築する。
• 検出確率 $P_{\text{det}}$ が、初期状態と対称化ハミルトニアンの固有状態との重なりによって決定されることを示す。
• $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$ を証明し、初期状態が対称部分空間にある場合に等号が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子グラフにおける対称性が全検出確率を1未塔に低下させる理由は何か？
• RQ2 物理的に同等の初期状態の数 $\nu$ を用いて $P_{\text{det}}$ をどのように上界で抑えられるか？
• RQ3 上界 $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$ がいつ達成されるか？
• RQ4 検出状態の安定化部分群が検出可能な状態の構造をどのように決定するか？
• RQ5 フルスペクトル分解の代わりに、縮小された対称化ハミルトニアンを用いて全検出確率を計算できるか？

主な発見

• 全検出確率 $P_{\text{det}}$ は、検出状態の安定化部分群における物理的に同等の初期状態の数 $\nu$ を用いて $1/\nu$ で上界が与えられる。
• サイズ $L$ のリングで動径モード $\ket{E_k}$ を検出する場合、$k \neq 0, L/2$ のとき $P_{\text{det}} = 1/L$ となり、上界 $1/\nu = 1/L$ が確認される。
• 検出状態が $\ket{E_{L/2}}$ の場合、全対称性群がその状態を安定化するが、依然として $\nu = L$ であり、$P_{\text{det}} = 1/L$ が維持される。
• 任意の初期状態における検出確率は $P_{\text{det}} = |\braket{\psi_{\text{in}}}{E_{k_{\text{d}}}}|^2$ で与えられ、検出は検出固有状態との重なりにのみ依存することが示される。
• 対称化射影演算子 $\hat{P}_{\cal S}$ は対称初期状態の部分空間に射影し、$P_{\text{det}}$ は対称化ハミルトニアンの対角化を用いて計算可能である。
• 検出振幅における位相因子が、検出空間における安定化表現の特性指標に等しいことが示され、群論と量子検出の間の関係が明確にされた。