[論文レビュー] Quantum-tunneling transitions and exact statistical mechanics of bistable systems with parametrized Dikand\\'e-Kofan\\'e double-well potentials

F. Naha Nzoupe, Alain M. Dikandé+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、パラメータ化されたDikandé-Kofanéポテンシャルを用いて、調整可能な二重井戸型ポテンシャルを有する二安定系における量子トンネル遷移および正確な統計力学を調査する。形状変形性パラメータを導入することで、1次量子トンネル遷移が現れる臨界値が特定され、Chudnovskyの予想と整合的であることが示され、移行積分作用素の正確な固有値および固有関数が導出され、相関関数や相関長などの熱力学的量の正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

We consider a one-dimensional system of interacting particles, in which particles are subjected to a bistable potential the double-well shape of which is tunable via a shape deformability parameter. Our objective is to examine the impact of shape deformability on the order of transition in quantum tunneling in the bistable system, and on the possible existence of exact solutions to the transfer-integral operator associated with the partition function of the system. The bistable potential is represented by a class composed of three families of parametrized double-well potentials, whose minima and barrier height can be tuned distinctly. It is found that the extra degree of freedom, introduced by the shape deformability parameter, favors a first-order transition in quantum tunneling, in addition to the second-order transition predicted with the $\\phi^4$ model. This first-order transition in quantum tunneling, which is consistent with Chudnovsky's conjecture of the influence of the shape of the potential barrier on the order of thermally-assisted transitions in bistable systems, is shown to occur at a critical value of the shape-deformability parameter which is the same for the three families of parametrized double-well potentials. Concerning the statistical mechanics of the system, the associate partition function is mapped onto a spectral problem by means of the transfer-integral formalism. The condition that the partition function can be exactly integrable, is determined by a criterion enabling exact eigenvalues and eigenfunctions for the transfer-integral operator. Analytical expressions of some of these exact eigenvalues and eigenfunctions are given, and the corresponding ground-state wavefunctions are used to compute the probability density which is relevant for calculations of thermodynamic quantities such as the correlation functions and the correlation lengths.

研究の動機と目的

• 形状変形性パラメータが二安定系における量子トンネル遷移の順序に与える影響を検討すること。
• 提案されたパラメータ化された二重井戸型ポテンシャルに対して、分配関数に関連する移行積分作用素が正確な解を有するかどうかを特定すること。
• 移行積分作用素の正確な固有値および固有関数の解析的表現を導出すること。
• 熱力学的計算に必要な基底状態の波動関数および確率密度を計算すること。
• 1次トンネル遷移がChudnovskyの障害物形状依存に関する予想と整合的であるかどうかを検証すること。

提案手法

• 形状変形性パラメータを介して、独立に調整可能な井戸の深さと障害物の高さを持つ、3つの族に分類されるパラメータ化された二重井戸型ポテンシャルのクラスを用いて系をモデル化する。
• 移行積分形式によって、分配関数を移行積分作用素に関連する固有値問題に写像する。
• 解析的手法を用いて、移行積分作用素に関連するシュレーディンガー方程式の正確な解を導出し、固有値および固有関数の閉形式表現を得る。
• 基底状態の波動関数を抽出し、熱力学的関数に必要な確率密度を計算するために用いる。
• 臨界定常状態を、1次遷移が発生する形状変形性パラメータの臨界値を特定することで分析する。
• 移行積分作用素の固有値問題の可解性を通じて、分配関数の正確な可積分性の基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重井戸型ポテンシャルに形状変形性パラメータを導入することで、1次量子トンネル遷移が誘発されるか？
• RQ2 このような系の分配関数に対する移行積分作用素が正確な解を有するか？
• RQ3 異なるパラメータ化されたポテンシャルの族にわたって、1次トンネル遷移が発生する普遍的な臨界値の形状変形性パラメータが存在するか？
• RQ4 移行積分作用素の正確な固有値および固有関数は、相関関数や相関長などの熱力学的量とどのように関係するか？
• RQ5 変形性パラメータによって制御されるポテンシャル障害物の形状は、量子トンネル遷移の順序にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 形状変形性パラメータによって1次量子トンネル遷移が誘発され、その臨界値μは、3つのパラメータ化された二重井戸型ポテンシャルの族すべてにおいて同一である。
• 形状変形性パラメータの臨界値μ_cは、Chudnovskyの予想（熱的補助遷移の順序に対する障害物形状の影響）と整合的である。
• 基底状態の波動関数およびその固有値について、明示的な解析的表現が導出され、q = 1 から q = 4 まで、双曲線関数およびμに依存するパラメータを用いて具体的に示されている。
• 固有値ε₀(μ)、ε₁(μ)、ε₂(μ)は、異なるq値に対して明示的に計算され、形状パラメータμおよびポテンシャルの非調和性に依存することが示された。
• 基底状態の波動関数を用いて確率密度を計算し、その結果、系における相関関数および相関長の正確な計算が可能になった。
• 移行積分作用素に関連する固有値問題の可解性を通じて、分配関数の正確な可積分性の基準が確立された。