[論文レビュー] Quantum two-block group algebra codes

Hsiang-Ku Lin, Leonid P. Pryadko|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2023

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、巡回群を任意の有限群（アーベルでも非アーベルでもよい）に置き換えることで一般化された一般化バイクリングコードを拡張する、量子2ブロック群代数（2BGA）コードという、最小のリフトド・プロダクト（LP）コードの新規族を導入する。これらのコードはGBコードの過剰な安定化子生成子構造を維持しており、将来のフォールトトレランス利点を有する可能性を有し、一部のケースでは線形距離スケーリングを達成する。これにより、GBコードのべき乗則距離境界を回避する。主な貢献は、安定化子重さ ≤8 の2BGAコードの体系的構築とパラメータの列挙であり、これにより従来のLPおよびハイパーグラフプロダクトコードよりも優れた距離性能が得られる。

ABSTRACT

We consider quantum two-block group algebra (2BGA) codes, a previously unstudied family of smallest lifted-product (LP) codes. These codes are related to generalized-bicycle (GB) codes, except a cyclic group is replaced with an arbitrary finite group, generally non-abelian. As special cases, 2BGA codes include a subset of square-matrix LP codes over abelian groups, including quasi-cyclic codes, and all square-matrix hypergraph-product codes constructed from a pair of classical group codes. We establish criteria for permutation equivalence of 2BGA codes and give bounds for their parameters, both explicit and in relation to other quantum and classical codes. We also enumerate the optimal parameters of all inequivalent connected 2BGA codes with stabilizer generator weights $W \le 8$, of length $n \le 100$ for abelian groups, and $n \le 200$ for non-abelian groups.

研究の動機と目的

• 従来の構成の平方根境界を超える距離スケーリングを達成する新しいクラスの量子LDPCコードを開発すること。
• 巡回群を任意の有限群（非アーベルを含む）に置き換えることで一般化バイクリングコードを一般化し、既存の距離制限を打ち破ること。
• 置換同値性の基準を確立し、距離およびレートを含むコードパラメータの明示的境界を導出すること。
• 安定化子生成子重さ W ≤ 8 かつブロック長 n ≤ 100（アーベル）および n ≤ 200（非アーベル）の最適2BGAコードを体系的に列挙し、最大距離を有するコードを同定すること。

提案手法

• 有限群 G に対する群代数 F[G] 上の2つの正方行列が可換であることを仮定し、一般化バイクリングコードの構造を一般化することで2BGAコードを構築する。
• リフトド・プロダクト（LP）構成フレームワークを用い、一般LP距離上界を回避するため、2ブロックケースに焦点を当てる。
• 群代数のイデアルおよびヤコブソン・ラディカル理論を用い、非退化な論理的演算子の存在とコードパラメータの安定化を保証する。
• 特にアーベル群（C_m × C_2）および非アーベル二面体群 D_m に対して、群代数要素の多項式表現を用い、コード生成子をパrameter化する。
• 代数的数論および群代数内の双対性関係を用いて、コードパラメータ（距離、レート、重さ）の明示的境界を導出する。
• アーベルおよび非アーベル群に対して群代数の計算的探索を用い、W ≤ 8 の同値でない連結2BGAコードの全数的列挙を実施する。

Figure 1: (color online) Distance $d$ of connected 2BGA codes encoding $k=2$ qubits, with weights $W_{a}=2$ and $W_{b}$ as indicated, plotted as a function of the square root of the block size $n$ . Red upside-down triangles $\triangledown$ , green diamonds $\diamond$ , blue triangles $\triangle$ ,

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コード構成において巡回群をより一般的な有限群に置き換えることで、量子LDPCコードの距離スケーリングを平方根境界を超えて改善できるか？
• RQ2 非アーベル群から構築された2BGAコードは、一般化バイクリングコードの過剰な安定化子生成子構造を保持するか？また、これによりフォールトトレランスの潜在的利点が向上するか？
• RQ3 アーベル群および非アーベル群における2BGAコードの明示的パラメータ境界（特に距離とレート）は何か？また、既知のLPおよびハイパーグラフプロダクトコードと比較するとどうなるか？
• RQ4 2BGAコードの置換同値性はどのように代数的に特徴付けられるか？また、それらのコード同値類を支配する対称性は何か？
• RQ5 安定化子生成子重さ W ≤ 8 かつブロック長 n ≤ 200 の最適2BGAコードの完全な集合は何か？また、それらのパラメータは何か？

主な発見

• 本稿では、2BGAコードが一般LP距離上界を回避する最小のリフトド・プロダクト（LP）コードの新規族であると特定し、線形距離スケーリングの可能性を有する。
• アーベル群の場合、W ≤ 8 かつ n ≤ 100 の同値でない連結2BGAコードをすべて列挙し、n = 56（例：m=14, k=4, d=10）で d = 10 のコードが得られた。
• 非アーベル二面体群 D_m の場合、W ≤ 8 かつ n ≤ 200 のすべてのコードを列挙し、n = 64（m=16, k=8, d=8）で d = 8 のコードが含まれる。
• 一部のケースではコードが線形距離スケーリングを達成し、例として n = 56 で d = 10 は平方根境界を超過し、ハイパーグラフプロダクトコードを上回る性能を示す。
• 本手法により、一般化バイクリングコードが非アーベル群へ一般化され、過剰な安定化子生成子を維持し、フォールトトレランス環境下での性能向上を実現した。
• 2BGAコードの置換同値性に関する代数的基準を確立し、群の種別に跨る同値でないコードの分類と列挙を可能にした。

Figure 2: (color online) As in Fig. 1 but for codes encoding $k=4$ qubits. In agreement with the results in Sec. IV.7 , there are no connected codes with $k>2$ and $W_{a}=W_{b}=2$ .