[論文レビュー] Quantum variational PDE solver with machine learning

Jaewoo Joo, H. Moon|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、変分量子回路を用いて非線形偏微分方程式（PDE）を解くために機械学習を活用するハイブリッド量子古典アルゴリズム、Quantum Variational PDE Solver（QuVa）を提案する。PDEに対応する量子演算子の期待値を推定するために制御キュービットの測定のみを実行し、機械学習を用いて変分パラメータを最適化することで、3キュービットの量子システム上で2次PDEに対して高精度な解を得た。これは、複雑な数学的および量子化学的問題に対して効果的な協調的アプローチを示している。

ABSTRACT

To solve nonlinear partial differential equations (PDEs) is one of the most common but important tasks in not only basic sciences but also many practical industries. We here propose a quantum variational (QuVa) PDE solver with the aid of machine learning (ML) schemes to synergise two emerging technologies in mathematically hard problems. The core quantum processing in this solver is to calculate efficiently the expectation value of specially designed quantum operators. For a large quantum system, we only obtain data from measurements of few control qubits to avoid the exponential cost in the measurements of the whole quantum system and optimise a pathway to find possible solution sets of the desired PDEs using ML techniques. As an example, a few different types of the second-order DEs are examined with randomly chosen samples and a regression method is implemented to chase the best candidates of solution functions with another trial samples. We demonstrated that a three-qubit system successfully follows the pattern of analytical solutions of three different DEs with high fidelity since the variational solutions are given by a necessary condition to obtain the exact solution of the DEs. Thus, we believe that final solution candidate sets are efficiently extracted from the QuVa PDE solver with the support of ML techniques and this algorithm could be beneficial to search for the solutions of complex mathematical problems as well as to find good ansatzs for eigenstates in large quantum systems (e.g., for quantum chemistry).

研究の動機と目的

• 古典的手法が指数的スケーリングに直面する高次元空間における非線形偏微分方程式（PDE）を解く計算的課題に対処すること。
• 測定コストが高く、正確な量子演算子の設計が難しい純粋な量子処理の限界を、パラメータ最適化に古典的機械学習を統合することで克服すること。
• 部分測定からの統計的データを用いた変分量子処理と古典的最適化の組み合わせにより、複雑なPDEの解の探索を効率的に行えるようにすること。
• 2次微分方程式の解を、機械学習を用いた変分量子回路で高精度に近似できるかどうかを実証すること。

提案手法

• QuVaソルバーは、変分パラメータをアンザッツに埋め込んだ変分量子回路を用い、解関数を量子状態として符号化する。
• 量子処理は、PDEに対応する全量子演算子 $\hat{\cal{O}}^{\text{tot}}$ の期待値を計算し、全システムの測定オーバーヘッドを回避するために制御キュービットの測定のみを実行する。
• 量子測定からの統計的結果を処理する機械学習スキームが、変分パラメータ $\{\bar{\lambda}\}$ の集合を反復的に最適化する。
• 制御ユニタリー回路とアダカ・キュービットを用いて目的の量子状態を準備し、ブロック-SWAPゲートを用いて量子状態間の重なり忠実度を計算する。
• CNOTゲートを用いた人工的デコherenceとアダカ・キュービットへの測定により、PDEにおける非線形項およびポテンシャル項の計算に必要な混合密度行列を準備する。
• 試行サンプルに対する回帰手法を用いて、PDEにおける残差誤差を最小化する最良の解候補を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な量子プロセッサ上で、部分測定のみを用いて、ハイブリッド量子古典変分的手法が非線形2次PDEを効率的に解けるか。
• RQ2 機械学習手法が、測定コストを低減させるとともに解の忠実度を向上させるために、量子PDEソルバーにおける変分パラメータをどれほど効果的に最適化できるか。
• RQ3 3キュービットの量子システムが、この変分フレームワークを用いて、異なる2次PDEの解析解をどれほど正確に再現できるか。
• RQ4 ブロック-SWAP操作を用いて計算される量子状態間の重なり忠実度は、PDEソルバーにおける解の品質の信頼性のある指標として機能するか。

主な発見

• QuVa PDEソルバーは、3キュービットの量子システムを用いて、3種類の異なる2次微分方程式に対して高精度な解を達成した。
• 変分解はPDEの解析解と一致しており、解が正確であるための必要条件を満たしていることが確認された。
• 制御キュービットの測定のみを実行し、機械学習によるパラメータ最適化を適用することで、全状態トモグラフィーと比較して量子測定コストを顕著に低減した。
• 人工的デコherenceの導入により、PDEにおける非線形項およびポテンシャル項の計算に必要な混合状態の準備が可能になった。
• 試行サンプルに対する回帰ベースの最適化により、最良の解候補関数が効果的に同定され、機械学習がPDE解の探索を支援する有効性が示された。
• ブロック-SWAPゲート操作により、重なり忠実度の正確な計算が可能となり、解候補の検証に重要な指標として機能した。