[論文レビュー] Quantum vs. Classical Communication and Computation

Harry Buhrman, Richard Cleve+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 84

ひとこと要約

本稿では、量子並列性を活用して、ブラックボックス量子アルゴリズムを量子通信プロトコルに変換する一般化されたシミュレーション手法を導入し、量子通信複雑性と古典的通信複雑性の間で漸近的分離を達成する。有界誤差モデルでは2乗の分離を、ゼロ誤差モデルでは指数的分離を達成する一方で、OR、PARITY、MAJORITY関数に対する量子速度上昇の限界を示す新たな下界を導出している。

ABSTRACT

We present a simple and general simulation technique that transforms any black-box quantum algorithm (a la Grover's database search algorithm) to a quantum communication protocol for a related problem, in a way that fully exploits the quantum parallelism. This allows us to obtain new positive and negative results. The positive results are novel quantum communication protocols that are built from nontrivial quantum algorithms via this simulation. These protocols, combined with (old and new) classical lower bounds, are shown to provide the first asymptotic separation results between the quantum and classical (probabilistic) two-party communication complexity models. In particular, we obtain a quadratic separation for the bounded-error model, and an exponential separation for the zero-error model. The negative results transform known quantum communication lower bounds to computational lower bounds in the black-box model. In particular, we show that the quadratic speed-up achieved by Grover for the OR function is impossible for the PARITY function or the MAJORITY function in the bounded-error model, nor is it possible for the OR function itself in the exact case. This dichotomy naturally suggests a study of bounded-depth predicates (i.e. those in the polynomial hierarchy) between OR and MAJORITY. We present black-box algorithms that achieve near quadratic speed up for all such predicates.

研究の動機と目的

• 量子ブラックボックスアルゴリズムと量子通信複雑性の間の明確な関係を確立すること。
• 特定の問題に対して、量子通信プロトコルが古典的プロトコルに対して漸近的優位性を示せることを示すこと。
• 通信複雑性の下界をブラックボックスモデルに還元することで、量子計算の新たな下界を導出すること。
• OR、PARITY、MAJORITYのような基本的なブール関数に対する量子速度上昇の限界を調査すること。
• 多項式階層に属する有界深さの述語が量子クエリ複雑性においてどのように振る舞うかを検討すること。

提案手法

• 任意のブラックボックス量子アルゴリズムを量子通信プロトコルに写像する一般化されたシミュレーション手法を提案し、量子並列性を保持する。
• 量子アルゴリズムの構造（例：グローバーの探索）を活用して、等価性、内積、互いに素な集合の問題に対する通信プロトコルを構築する。
• 既知の量子アルゴリズム（例：グローバーのアルゴリズム）を通信問題に適用し、通信コストを低減する新しい量子プロトコルを導出する。
• 振幅増幅および位相推定技術を用いて、有界誤差内での量子ゲートの近似を実現し、忠実度をε以内に保証する。
• 通信複雑性問題をブラックボックス計算問題に還元することで、量子クエリ複雑性の下界を導出する。
• 深さ-dのブール回路の構造を用いて、多項式階層に属する述語へ一般化し、再帰的近似技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子通信プロトコルは、全関数に対して古典的プロトコルよりも漸近的優位性を示せるか？
• RQ2 有界誤差モデルにおいて、グローバーのアルゴリズムの2乗速度上昇は、PARITY や MAJORITY のような関数に対しても達成可能か？
• RQ3 古典的および量子通信複雑性モデル間の最大の可能な分離は何か？
• RQ4 通信複雑性の下界を用いて、ブラックボックス量子計算モデルにおける非自明な下界を導出できるか？
• RQ5 多項式階層に属する有界深さの述語は、量子クエリ複雑性においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 有界誤差古典的および量子通信複雑性の間で2乗の分離が達成され、明示的な量子優位性が示された。
• ゼロ誤差古典的および正確な量子通信複雑性の間で指数的分離が確立され、定数要因の範囲で最適であることが示された。
• 有界誤差モデルにおいて、OR関数に対するグローバーの2乗速度上昇が、PARITYおよびMAJORITYに対しては不可能であることが示された。
• OR関数に対しては、正確な量子アルゴリズムでも定数要因を超える速度上昇は達成できないことが確認され、量子優位性の限界が裏付けられた。
• すべての有界深さの述語（多項式階層に属する）に対して、ブラックボックス量子アルゴリズムを用いてほぼ2乗の速度上昇が達成された。
• シミュレーション手法によりタイトな下界が導出可能であり、後続の研究でPARITYおよびMAJORITYに対する最適性が確認された。