[論文レビュー] Quantum vs. Classical Read-once Branching Programs

Martin Sauerhoff|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非自明な上界と下界を初めて確立し、量子モデルと古典的モデルの計算能力が互いに優劣をつけられないことを示している。量子プログラムは特定の全関数を古典的確率的プログラムよりも指数的速さで解けるが、一方で集合非共通関数については指数的サイズを要する。これは、古典的決定的OBDDが線形サイズで解けるのとは対照的である。

ABSTRACT

The paper presents the first nontrivial upper and lower bounds for (non-oblivious) quantum read-once branching programs. It is shown that the computational power of quantum and classical read-once branching programs is incomparable in the following sense: (i) A simple, explicit boolean function on 2n input bits is presented that is computable by error-free quantum read-once branching programs of size O(n^3), while each classical randomized read-once branching program and each quantum OBDD for this function with bounded two-sided error requires size 2^{Ω(n)}. (ii) Quantum branching programs reading each input variable exactly once are shown to require size 2^{Ω(n)} for computing the set-disjointness function DISJ_n from communication complexity theory with two-sided error bounded by a constant smaller than 1/2-2\sqrt{3}/7. This function is trivially computable even by deterministic OBDDs of linear size. The technically most involved part is the proof of the lower bound in (ii). For this, a new model of quantum multi-partition communication protocols is introduced and a suitable extension of the information cost technique of Jain, Radhakrishnan, and Sen (2003) to this model is presented.

研究の動機と目的

• 非自明な上界と下界を初めて確立すること。非自明な非一様量子読み取り一回の分岐プログラムに対して。
• 量子と古典的読み取り一回の分岐プログラムの計算能力が互いに優劣つけられないことを、各モデルが他方を上回る明示的な関数を構築することで示すこと。
• 情報コスト技術を、量子マルチパーティション通信プロトコルの新しいモデルに拡張し、集合非共通関数に対する下界を証明すること。
• 全関数に対して、量子読み取り一回の分岐プログラムが古典的確率的対応物よりも指数的サイズの利点を達成できることを示すこと。
• 集合非共通関数を計算するにあたり、量子読み取り一回の分岐プログラムが指数的サイズを要することを証明すること。これは、古典的決定的OBDDがその関数を線形サイズで解けることと対照的である。

提案手法

• 量子読み取り一回の分岐プログラムを分析するため、量子マルチパーティション通信プロトコルの新しいモデルを導入する。
• Jain-Radhakrishnan-Senの情報コスト技術の拡張を、新しい量子マルチパーティションモデルに適用する。
• 重み付き和関数およびその拡張である混合重み付き和関数（MWSₙ）を、指数的量子優位性を構築するための基本構成要素として用いる。
• 相互情報量および条件付きエントロピー技術を用いて、量子分岐プログラム内の情報フローを制限する。
• 入力の条件付き付与と平均化の議論を用いて、分岐プログラムのサイズ解析を、量子通信プロトコルの情報コストに還元する。
• 条件付き分布下での入力ビットの独立性を活用し、分岐プログラムの挙動から量子2パーティションプロトコルをシミュレートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子読み取り一回の分岐プログラムは、全関数に対して、古典的確率的読み取り一回の分岐プログラムよりも指数的サイズの利点を達成できるか？
• RQ2 量子読み取り一回の分岐プログラムが、古典的確率的ものよりも指数的に小さいサイズで解ける全関数は存在するか？
• RQ3 集合非共通関数に対する量子読み取り一回の分岐プログラムの空間計算量は何か？また、古典的モデルと比べてどうなるか？
• RQ4 通信複雑性からの情報コスト技術を、量子マルチパーティションプロトコルに拡張し、下界を証明できるか？
• RQ5 非一様性が量子読み取り一回の分岐プログラムの計算能力に与える影響は、一様モデルと比べてどうか？

主な発見

• 誤りのない量子読み取り一回の分岐プログラムは、サイズ $O(n^3)$ で、$2n$ 個の入力ビット上の全関数である混合重み付き和関数 MWSₙ を計算できる。
• MWSₙ を計算するには、任意の古典的確率的読み取り一回の分岐プログラム、または両側誤差が $1/2$ 未満の量子OBDDが、サイズ $2^{ ilde{ ext{O}}(n)}$ 必要である。
• 集合非共通関数 DISJₙ を計算するには、両側誤差が $1/2 - 2 ilde{3}/7$ より小さい定数未満である量子読み取り一回の分岐プログラムが、サイズ $2^{ ilde{ ext{O}}(n)}$ 必要である。
• DISJₙ の下界は、新規の量子マルチパーティション通信プロトコルモデルと、このモデルへの情報コスト技術の拡張により証明された。
• AND関数の $ ilde{ ext{O}}$-誤差量子2パーティションプロトコルの情報コストは、正の定数以上に下界づけられ、これによりサイズ下界が得られた。
• 結果として、量子と古典的読み取り一回の分岐プログラムは、計算能力が互いに優劣つけられないことが示された。各モデルは、他方が効率的に解けない問題を解ける。