[論文レビュー] Quantum walk speedup of backtracking algorithms

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、制約充足問題（CSP）を解くために用いられる古典的バックトラッキングアルゴリズムに対して、ほぼ二次の加速を達成する量子アルゴリズムを提示している。バックトラッキング木上の量子ウォークを活用することで、述語およびヒューリスティックの評価回数を古典的場合の$O(T)$から$O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$に削減し、$T$が大きい場合にはSATのような問題において顕著な高速化を実現する。

ABSTRACT

We describe a general method to obtain quantum speedups of classical algorithms which are based on the technique of backtracking, a standard approach for solving constraint satisfaction problems (CSPs). Backtracking algorithms explore a tree whose vertices are partial solutions to a CSP in an attempt to find a complete solution. Assume there is a classical backtracking algorithm which finds a solution to a CSP on n variables, or outputs that none exists, and whose corresponding tree contains T vertices, each vertex corresponding to a test of a partial solution. Then we show that there is a bounded-error quantum algorithm which completes the same task using O(sqrt(T) n^(3/2) log n) tests. In particular, this quantum algorithm can be used to speed up the DPLL algorithm, which is the basis of many of the most efficient SAT solvers used in practice. The quantum algorithm is based on the use of a quantum walk algorithm of Belovs to search in the backtracking tree. We also discuss how, for certain distributions on the inputs, the algorithm can lead to an exponential reduction in expected runtime.

研究の動機と目的

• 制約充足問題（CSP）を解くために用いられる古典的バックトラッキングアルゴリズムに対する一般化された量子加速を開発すること。
• CSPを解くために必要な述語およびヒューリスティックの評価回数を、古典的$O(T)$から量子的$O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$に削減すること。ここで$T$はバックトラッキング木のサイズを表す。
• この量子加速が、実用的なSATソルバの基盤であるDPLLアルゴリズムに対しても適用可能であることを示すこと。
• 特定の入力分布のもとで、量子アルゴリズムが期待される実行時間の指数的短縮を達成する条件を分析すること。

提案手法

• アルゴリズムは、各頂点がCSPにおける部分割り当てを表すバックトラッキング木上で量子ウォークを実行する。
• Belovsが提唱した量子ウォークアルゴリズムを用いて木の中で解を見つける探索を実行し、量子振幅増幅を活用して高速化を達成する。
• 述語$P$が部分割り当てを真、偽、不定のいずれかとして評価できること、および次に割り当てる変数を選択するためのヒューリスティック$h$が利用可能であると仮定する。
• 量子アルゴリズムは、木の構造に基づく線形方程式系を解くことによって得られる振幅を持つ、未マーキング頂点の量子重ね合わせ状態$|\xi\rangle$を構築する。
• 有効スペクトルギャップ補題を用いて実行時間の上限を導出する。この補題は、状態の目標空間の直交補空間への射影のノルムと木の頂点数$T$との関係を示す。
• アルゴリズムは$O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$回の$P$および$h$の評価を実行し、失敗確率は$\delta$である。また、$\operatorname{poly}(n)$の空間で動作する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バックトラッキング木上の量子ウォークを用いることで、CSPに用いられるバックトラッキングアルゴリズムに対して一般化された量子加速を達成できるか？
• RQ2 古典的アルゴリズムがサイズ$T$の木を探索する場合に、CSPをバックトラッキングで解くための量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 バックトラッキング木が小さいか構造的である場合でも、この量子加速は有効に機能するか？また、どのような入力分布のもとで指数的加速が達成できるか？
• RQ4 実用的なCSPインスタンス（例：$k$-SAT）において、量子アルゴリズムは古典的バックトラッキングやグローバーのアルゴリズムと比べてどの程度の性能向上を示すか？

主な発見

• 量子アルゴリズムはほぼ二次の加速を達成し、述語およびヒューリスティックの評価回数を古典的$O(T)$から$O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$に削減する。
• $k=O(1)$のランダム$k$-SATインスタンスにおいて、バックトラッキング木の期待頂点数は$O(n2^{Cn})$である。ここで$C = \left(\frac{2^{k}\ln 2}{\alpha k}\right)^{1/(k-1)}\left(1 - \frac{1}{k}\right)$であり、量子アルゴリズムは$\sqrt{T}$に比例した加速を提供する。
• $k=3$の場合、期待頂点数は$\Omega(2^{C'n})$であり、$C' \geq 0.906/\sqrt{\alpha} - 0.142/\alpha^2$を満たす。これは、特定のパrameter領域では量子アルゴリズムが指数的加速を達成できることを示唆する。
• このアルゴリズムはDPLLアルゴリズムにも適用可能であり、多くの現代のSATソルバの基盤となっていることから、実用的意義がある。
• 量子ウォークアプローチにより、失敗確率が$\delta$未満であるバウンデッドエラー性能が保証され、各オракルコールで$O(1)$の補助操作しか使用しない。
• 分析から、$T$が大きい場合に量子加速が最も効果的であり、特定の入力分布では期待実行時間の指数的短縮が可能であることが示された。